Найдите значение выражения $5\sqrt{2}{\cos }^2\frac{\text{7π}}{8}-5\sqrt{2}{\sin }^2\frac{\text{7π}}{8}$.

На рисунке изображены график функции $y=f\left(x\right)$ и касательная к нему
в точке с абсциссой $x_0\text{}.$ Найдите значение производной функции $f\left(x\right)$ 
в точке $x_0\text{}.$

В чемпионате по гимнастике участвуют 30 спортсменок: 8 из Литвы,
13 из Латвии, остальные $—$ из Эстонии. Порядок, в котором выступают спортсменки, определяется жребием. Найдите вероятность того,
что спортсменка, выступающая первой, окажется из Эстонии.

На конференцию приехали учёные из трёх стран: 7 из Сербии, 3 из России и 2 из Дании. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что десятым окажется доклад учёного из России.

На рисунке изображены график функции ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ и касательная к нему
в точке с абсциссой ${\displaystyle x_0\text{}.}$ Найдите значение производной функции ${\displaystyle f\left(x\right)}$ 
в точке ${\displaystyle x_0\text{}.}$ 

В чемпионате по гимнастике участвуют 45 спортсменок: 6 из России, 21 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

${\displaystyle —}$ каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

${\displaystyle —}$ с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку ${\displaystyle r}$, если известно, что последний платёж будет не менее 0,819 млн рублей.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы:

Найдите корень уравнения $5^{11-x}\text{}=25.$ 

Найдите значение выражения $\frac{10\sin 72°\cdot \cos 72°}{\sin 144°}.$ 

На рисунке изображены график функции ${\displaystyle y=f(x)}$ и касательная к нему
в точке с абсциссой ${\displaystyle x_0}$. Найдите значение производной функции ${\displaystyle f(x)}$ 
в точке ${\displaystyle x_0}$.

На рисунке изображён график ${\displaystyle y=f\text{'}\left(x\right)}$ — производной функции ${\displaystyle f\left(x\right),}$ определённой на интервале ${\displaystyle \left(-5;5\right).}$ Найдите точку максимума функции ${\displaystyle f\left(x\right).}$ 

На рисунке изображён график $y=f\text{'}\left(x\right)$ $—$ производной функции $f\left(x\right),$ определённой на интервале $\left(-9;10\right).$ Найдите количество точек максимума функции $f\left(x\right),$ принадлежащих отрезку $\left[-6;8\right].$

Прямая, проходящая через вершину ${\displaystyle B}$ прямоугольника ${\displaystyle ABCD}$ перпендикулярно диагонали ${\displaystyle AC}$, пересекает сторону ${\displaystyle AD}$ в точке ${\displaystyle M}$, равноудалённой от вершин ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle \angle ABM=\angle DBС=30°}$.

б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой ${\displaystyle CM}$, если ${\displaystyle BC=9}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}\left(1;3\right)$ и $\overrightarrow{b}\left(3;-1\right).$ Найдите длину вектора $6\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}.$

На конференцию приехали учёные из трёх стран: 3 из Дании, 4 из Венгрии и 3 из Болгарии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что седьмым окажется доклад учёного из Болгарии.

Даны векторы $\overrightarrow{a}\left(5;-7\right)$ и $\overrightarrow{b}\left(14;1\right).$ Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}.$