${\displaystyle —}$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

${\displaystyle —}$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

${\displaystyle —}$ 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

${\displaystyle —}$ 15-го числа 10-го месяца долг составит 300 тысяч рублей;

${\displaystyle —}$ к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы: Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1388 тысяч рублей?

Один мастер может выполнить заказ за 40 часов, а другой — за 24 часа. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?

Решите неравенство ${\displaystyle 2{\log }_2\left(x\sqrt{5}\right)-{\log }_2\left(\frac{x}{1-x}\right)\le {\log }_2\left(5x^2+\frac{1}{x}-2\right)}$.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ 
и $BC,$ равными 8 и 3 соответственно. Точки $M$ и $N$ лежат на рёбрах $SD$ 
и $BC$ соответственно, причём $SM:MD=3:\mathrm{2,}$ $BN:NC=1:2.$
Плоскость $AMN$ пересекает ребро $SC$ в точке $K.$

а) Докажите, что $SK:KC=6:1.$

б) Плоскость $AMN$ делит пирамиду $SABCD$ на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что её масса окажется меньше 810 г, равна 0,95. Вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, равна 0,84. Найдите вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, но меньше 810 г.

В равнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведены
высоты $AH$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $AB.$ Отрезки $HM$ и $HK$ $—$ перпендикуляры к прямым $AB$ и $AC$ соответственно. Отрезки $CT$ и $MK$ пересекаются в точке $E.$

а) Докажите, что прямые $AB$ и $EH$ параллельны.

б) Найдите длину отрезка $ME,$ если $AB=13$ и $AC=10.$ 

Сечением прямоугольного параллелепипеда ${\displaystyle ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$ плоскостью ${\displaystyle \text{α}}$, содержащей прямую ${\displaystyle B{D}_1}$ и параллельной прямой ${\displaystyle AC}$, является ромб.

а) Докажите, что грань ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle —}$ квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями ${\displaystyle \text{α}}$ и ${\displaystyle BC{C}_1}$, если ${\displaystyle A{A}_1=10}$, ${\displaystyle AB=12}$.

В трапеции ${\displaystyle ABCD}$ основание ${\displaystyle AD}$ в два раза больше основания ${\displaystyle BC}$. Внутри трапеции взяли точку ${\displaystyle M}$ так, что углы ${\displaystyle ABM}$ и ${\displaystyle DCM}$ прямые.

а) Докажите, что ${\displaystyle AM=DM}$.

б) Найдите угол ${\displaystyle BAD}$, если угол ${\displaystyle ADC}$ равен ${\displaystyle 70°}$, а расстояние от точки ${\displaystyle M}$ до прямой ${\displaystyle AD}$ равно стороне ${\displaystyle BC}$.

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O.$ Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A.$ Известно, что $\angle MNK=90°\text{},$ $\angle NKL=\angle KLM=120°\text{}.$ 

а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO.$

б) Найдите длину стороны $MN,$ если $LA=1.$

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ угол ${\displaystyle A}$ равен ${\displaystyle 120°}$. Прямые, содержащие высоты ${\displaystyle BM}$ и ${\displaystyle CN}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$, пересекаются в точке ${\displaystyle H}$. Точка ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle —}$ центр окружности, описанной около треугольника ${\displaystyle ABC}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle AH=AO}$.

б) Найдите площадь треугольника ${\displaystyle AHO}$, если ${\displaystyle BC=\sqrt{15}}$, ${\displaystyle \angle ABC=45°}$.

На рисунке изображён график функции вида ${\displaystyle f\left(x\right)=a^x.}$ Найдите значение ${\displaystyle f\left(-3\right).}$ 

$\cos 2x+\cos \left(-x\right)=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\text{7π}}{2};-\text{2π}\right].$

а) Решите уравнение

Окружность проходит через вершины ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$, пересекает продолжение стороны ${\displaystyle AD}$ за точку ${\displaystyle D}$ в точке ${\displaystyle E}$ и пересекает продолжение стороны ${\displaystyle CD}$ за точку ${\displaystyle D}$ в точке ${\displaystyle K}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle BK=BE}$.

б) Найдите отношение ${\displaystyle KE:AC}$, если ${\displaystyle \angle BAD=30°}$.

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 13 часов. Ответ дайте в км/ч.

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_2^2\left(25-x^2\right)-7{\log }_2\left(25-x^2\right)+12\ge 0}$.

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что её масса окажется меньше 810 г, равна 0,95. Вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, равна 0,86. Найдите вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, но меньше 810 г.

На рёбрах $BC,$ $AB$ и $AD$ правильного тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $L,$ $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $BL:LC=AM:MB=AN:ND=1:2.$

а) Докажите, что плоскость $\text{α}\text{,}$ проходящая через точки $L,$ $M,$ $N,$ делит ребро $CD$ в отношении $2:\mathrm{1,}$ считая от вершины $C.$

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\text{α}\text{,}$ если $AB=6.$

Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O.$ На боковых сторонах $AB$ и $CD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $AM=MO,$ $CN=NO.$

а) Докажите, что точки $M,$ $O$ и $N$ лежат на одной прямой.

б) Найдите отношение $AM:MB,$ если $AO=CO$ и $BC:AD=17:31.$

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,2. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$с большим основанием$AD.$ Диагонали трапеции пересекаются в точке $O.$ Точки $M$ и $N$ $—$ середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\text{α}$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO.$

а) Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\text{α}$ является трапецией.

б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\text{α}$, если $AD=\mathrm{10,}$ $BC=\mathrm{8,}$ $SO=\mathrm{8,}$ а прямая $SO$ перпендикулярна прямой $AD.$