В основании правильной треугольной пирамиды ${\displaystyle ABCD}$ лежит треугольник ${\displaystyle ABC}$ со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка ${\displaystyle T}$ так, что ${\displaystyle AT:TD=2:1}$. Через точку Т  параллельно прямым ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BD}$ проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при которых уравнение

${\displaystyle {\left(x+\ln (x+a)\right)}^2={\left(x-\ln (x+a)\right)}^2}$

имеет единственное решение на отрезке ${\displaystyle [0;1]}$.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.

Даны векторы $\overrightarrow{a}\left(5;3\right)$ и $\overrightarrow{b}\left(4;-6\right).$ Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}.$

На рисунке изображён график ${\displaystyle y=f\text{'}\left(x\right)}$ ${\displaystyle —}$ производной функции ${\displaystyle f\left(x\right)}$, определённой на интервале ${\displaystyle \left(-19;3\right)}$. Найдите количество точек экстремума функции ${\displaystyle f\left(x\right)}$, принадлежащих отрезку ${\displaystyle \left[-17;-4\right]}$.

Найдите значение выражения $2\sqrt{3}{\cos }^2\frac{\text{13π}}{12}-\sqrt{3}.$

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b},$ координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}.$

Найдите корень уравнения ${\displaystyle {\log }_2\left(x-2\right)={\log }_{2}11}$.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 10 спортсменов из Испании и 6 спортсменов из Бразилии . Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что одиннадцатым будет выступать спортсмен из Испании.

Даны векторы $\overrightarrow{a}\left(31;0\right)$ и $\overrightarrow{b}\left(1;-1\right).$ Найдите длину вектора $\overrightarrow{a}-24\overrightarrow{b}.$

На рисунке изображён график ${\displaystyle y=f\text{'}\left(x\right)}$ — производной функции ${\displaystyle f\left(x\right),}$ определённой на интервале ${\displaystyle \left(-9;4\right).}$ В какой точке отрезка ${\displaystyle \left[-2;3\right]}$ функция ${\displaystyle f\left(x\right)}$ принимает наименьшее значение?

На рисунке изображён график функции $y=f\left(x\right).$ На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ $x_5,$ $x_6,$ $x_7,$ $x_8.$ Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции $f\left(x\right)$ отрицательна.

На рисунке изображены график функции ${\displaystyle y=f(x)}$ и касательная к нему
в точке с абсциссой ${\displaystyle x_0}$. Найдите значение производной функции ${\displaystyle f(x)}$ 
в точке ${\displaystyle x_0}$.

а) Решите уравнение ${\displaystyle \frac{{\log }_2^2(\sin x)+{\log }_2(\sin x)}{2\cos x+\sqrt{3}}=0}$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[0;\frac{\text{3π}}{2}\right]}$.

В сборнике билетов по химии 30 билетов, в девяти из них встречается вопрос по теме « Щёлочи ». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме « Щёлочи ».