Известно, что около четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$ можно описать окружность
и что продолжения сторон ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ четырёхугольника пересекаются
в точке ${\displaystyle M}$. Докажите, что треугольники ${\displaystyle MBC}$ и ${\displaystyle MDA}$ подобны.

Решите уравнение

Решите уравнение ${\displaystyle {\left(x-1\right)}^4-2{\left(x-1\right)}^2-3=0}$.

Точка ${\displaystyle H}$ является основанием высоты ${\displaystyle BH}$, проведённой из вершины прямого угла ${\displaystyle B}$ прямоугольного треугольника ${\displaystyle ABC}$. Окружность
с диаметром ${\displaystyle BH}$ пересекает стороны ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CB}$ в точках ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle K}$ соответственно. Найдите ${\displaystyle PK}$, если ${\displaystyle BH=12}$.

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события .

Кинетическая энергия тела массой  кг, двигающегося со скоростью , вычисляется по формуле

и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 2400 кг обладает кинетической энергией 270 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.

Решите уравнение

В равнобедренной трапеции с основаниями ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$ угол ${\displaystyle D}$ равен ${\displaystyle 76°}$. Диагональ ${\displaystyle AC}$ образует со стороной ${\displaystyle CD}$ угол ${\displaystyle 49°}$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставался 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 3 минуты назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 2 км/ч меньше скорости второго.

Прямая, параллельная стороне ${\displaystyle AC}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$, пересекает
стороны ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle BC}$ в точках ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ соответственно. Найдите ${\displaystyle BN}$,
если ${\displaystyle MN=18}$, ${\displaystyle AC=42}$, ${\displaystyle NC=40}$.

На клетчатой бумаге с размером клетки  изображена фигура. Найдите длину отрезка  по данным чертежа.

В остроугольном треугольнике ${\displaystyle ABC}$ проведены высоты ${\displaystyle B{B}_1}$ и ${\displaystyle C{C}_1}$. Докажите, что углы ${\displaystyle B{B}_1{C}_1}$ и ${\displaystyle BC{C}_1}$ равны.

Решите уравнение ${\displaystyle {\left(x^2-1\right)}^2+{\left(x^2-6x-7\right)}^2=0}$.

Решите уравнение ${\displaystyle x^3+3x^2-x-3=0}$.

Прямая, параллельная основаниям трапеции ${\displaystyle ABCD}$, пересекает её боковые стороны ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ в точках ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ соответственно. Найдите длину
отрезка ${\displaystyle EF}$, если ${\displaystyle AD=44}$, ${\displaystyle BC=24}$, ${\displaystyle CF:DF=3:1}$.

Первые 500 км автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие 100 км ${\displaystyle —}$ со скоростью 50 км/ч, а последние 165 км ${\displaystyle —}$ со скоростью 55 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решите систему уравнений ${\displaystyle \{\begin{array}{l}2x^2-x=y,\\ 2x-1=y.\end{array}}$

Моторная лодка прошла против течения реки 132 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решите систему уравнений ${\displaystyle \{\begin{array}{l}2x^2-5x=y,\\ 2x-5=y.\end{array}}$