Найдите точку минимума функции ${\displaystyle y=x^2-28x+96\cdot \ln x+31}$.

Решите неравенство

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 45% меди, второй ${\displaystyle —}$ 20% меди. Масса первого сплава больше массы второго на 30 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 40% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

${\displaystyle 8^x-3\cdot 2^{x+2}+2^{5-x}=0}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[{\log }_{4}5;\sqrt{3}\right]}$.

а) Решите уравнение

В равнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведены
высоты $AH$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $AB$. Отрезки $HM$ и $HK$ $—$ перпендикуляры к прямым $AB$ и $AC$ соответственно. Отрезки $CT$ и $MK$ пересекаются в точке $E.$

а) Докажите, что $TH=ME.$

б) Найдите длину отрезка $EK,$ если $AB=13$ и $AC=10.$ 

В правильной четырёхугольной пирамиде  сторона основания  равна 8, а боковое ребро  равно 7. На рёбрах  и  отмечены точки  и  соответственно, причём , .

а) Докажите, что плоскость  перпендикулярна плоскости .

б) Найдите объём пирамиды .

Первый час автомобиль ехал со скоростью 115 км/ч, следующие три часа — со скоростью 45 км/ч, а затем два часа — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ $—$ центр основания пирамиды, точка $M$ $—$ середина ребра $SC,$ точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC=3:\mathrm{1,}$ а $AB=2$ и $SO=\sqrt{14}.$

а) Докажите, что плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA.$

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMK$ пересекает грань $SAD.$

${\displaystyle y=10\cos x+14x+9}$ 

на отрезке ${\displaystyle \left[0;\frac{\text{3π}}{2}\right]}$.

Найдите наименьшее значение функции

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=3$ моль воздуха объёмом $V_1=80\text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$ (в л). Работа, совершаемая
водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha \text{υ}T{\log }_2\frac{V_1}{V_2}$,
где $\alpha =\mathrm{5,8}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{К}$ $—$ температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 20 880 Дж. Ответ дайте в литрах.

$—$ каждый январь долг увеличивается на $r$ % по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

$—$ в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на 70 % меньше долга на июль предыдущего года;

$—$ к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 8085 тыс. рублей. Найдите $r.$ 

В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на три года в размере 6 млн рублей. Условия его возврата таковы:

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=7$ моль воздуха объёмом $V_1=64\text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$ (в л). Работа, совершаемая
водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\alpha \text{υ}T{\log }_2\frac{V_1}{V_2}$,
где $\alpha =\mathrm{5,8}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{К}$ $—$ температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 36 540 Дж. Ответ дайте в литрах.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

Найдите точку минимума функции $y=2x^{\frac{3}{2}}-21x+16.$

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_5\left(3x+1\right)+{\log }_5\left(\frac{1}{72x^2}+1\right)\ge {\log }_5\left(\frac{1}{24x}+1\right)}$.

${\displaystyle {16}^{\sin x}\text{}+{16}^{\sin \left(x+\text{π}\right)}=\frac{17}{4}}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[\frac{3\text{π}}{2};3\text{π}\right]}$.

а) Решите уравнение

$y=10\cos x-14x+5$

на отрезке $\left[-\frac{3\text{π}}{2};0\right]$.

Найдите наименьшее значение функции

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$ и ${\displaystyle C_1}$ ${\displaystyle —}$ середины сторон ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle AB}$ соответственно, ${\displaystyle AH}$ ${\displaystyle —}$ высота, ${\displaystyle \angle BAC=60°}$, ${\displaystyle \angle BCA=45°}$.

а) Докажите, что точки ${\displaystyle A_1}$, ${\displaystyle B_1}$, ${\displaystyle C_1}$ и ${\displaystyle H}$ лежат на одной окружности.

б) Найдите ${\displaystyle A_{1}H}$, если ${\displaystyle BC=2\sqrt{3}}$.

${\displaystyle y=\ln {\left(x+9\right)}^5-5x}$

на отрезке ${\displaystyle \left[-\mathrm{8,5};0\right]}$.

Найдите наибольшее значение функции

На рисунке изображён график функции вида $f\left(x\right)={\log }_{a}x$. Найдите
значение $f\left(8\right)$.