Задание F3C6D5

7.4 Окружность и круг Краткий ответ 15-18 — Геометрия, краткий ответ (не различимы по банку — идентичны и в спецификации ФИПИ)

Диагональ ромба равна 16, а . Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

✓ Ответ подтверждён

4.8

Источник: ai_solved_fipi_verified · подтверждено 2026-09-25 19:03:19.954224+00:00

1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения $O$ пополам.
2. В прямоугольном треугольнике $BOC$ катет $OC$ равен половине диагонали $AC$, то есть $16 / 2 = 8$.
3. По определению тангенса в треугольнике $BOC$: $\text{tg } BCA = BO / OC$.
4. Подставим значения: $0{,}75 = BO / 8$, откуда $BO = 8 \cdot 0{,}75 = 6$.
5. В прямоугольном треугольнике $BOC$ найдем гипотенузу $BC$ по теореме Пифагора: $BC = \sqrt{BO^2 + OC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$.
6. Высота ромба $h$ равна диаметру вписанной окружности ($h = 2r$), поэтому $h = 2 \cdot S_{BOC} / OC$ или через площадь треугольника $BOC$: $S_{BOC} = 0{,}5 \cdot BO \cdot OC = 0{,}5 \cdot 6 \cdot 8 = 24$.
7. С другой стороны, площадь треугольника $BOC$ можно выразить через высоту $r$, опущенную из $O$ на сторону $BC$: $S_{BOC} = 0{,}5 \cdot BC \cdot r$.
8. Получаем уравнение: $24 = 0{,}5 \cdot 10 \cdot r$, откуда $24 = 5r$.
9. Находим радиус: $r = 24 / 5 = 4{,}8$.

Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.