Задание EB107F

7.4 Окружность и круг Краткий ответ 15-18 — Геометрия, краткий ответ (не различимы по банку — идентичны и в спецификации ФИПИ)

Диагональ ромба равна 36, а . Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

✓ Ответ подтверждён

14.4

Источник: ai_solved_fipi_verified · подтверждено 2026-09-25 18:27:59.666095+00:00

1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, и точка их пересечения $O$ делит диагональ $AC$ пополам, значит, $OC = AC / 2 = 18$.
2. В прямоугольном треугольнике $BOC$ тангенс угла $BCA$ равен отношению катета $OB$ к катету $OC$.
3. Так как $tg(BCA) = OB / OC = 4/3$, то $OB = OC \cdot (4/3) = 18 \cdot (4/3) = 24$.
4. Сторона ромба $BC$ по теореме Пифагора равна $\sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30$.
5. Площадь ромба $S$ можно найти как произведение его диагоналей, деленное на 2: $S = (AC \cdot BD) / 2$.
6. Длина диагонали $BD = 2 \cdot OB = 2 \cdot 24 = 48$, тогда $S = (36 \cdot 48) / 2 = 36 \cdot 24 = 864$.
7. Радиус $r$ вписанной в ромб окружности связан с площадью и стороной формулой $S = pr$, где $p$ — полупериметр ромба.
8. Полупериметр ромба $p = 4 \cdot 30 / 2 = 60$.
9. Радиус $r = S / p = 864 / 60 = 14,4$.

Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.