Задание E9B8D4

7.4 Окружность и круг Краткий ответ 15-18 — Геометрия, краткий ответ (не различимы по банку — идентичны и в спецификации ФИПИ)

Диагональ ромба равна 32, а . Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

✓ Ответ подтверждён

9.6

Источник: ai_solved_fipi_verified · подтверждено 2026-09-25 19:04:23.532268+00:00

1. Диагональ $AC = 32$, точка пересечения диагоналей $O$ делит её пополам, поэтому $OC = 16$.
2. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому треугольник $BOC$ — прямоугольный с углом $\angle BCO$.
3. Из определения тангенса в треугольнике $BOC$: $tg \angle BCO = \frac{BO}{OC} = 0,75$.
4. Выразим катет $BO = OC \cdot 0,75 = 16 \cdot 0,75 = 12$.
5. Найдем гипотенузу $BC$ по теореме Пифагора: $BC = \sqrt{BO^2 + OC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$.
6. Высота ромба $h$ равна диаметру вписанной окружности, а её радиус $r = \frac{h}{2}$.
7. Площадь ромба $S$ можно найти как произведение основания на высоту ($S = BC \cdot h$) или через диагонали ($S = \frac{AC \cdot BD}{2}$).
8. Найдем $BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 12 = 24$.
9. Вычислим площадь $S = \frac{32 \cdot 24}{2} = 384$.
10. Высота $h = \frac{S}{BC} = \frac{384}{20} = 19,2$.
11. Радиус $r = \frac{h}{2} = \frac{19,2}{2} = 9,6$.

Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.