Задание D51D7A

7.4 Окружность и круг Краткий ответ 15-18 — Геометрия, краткий ответ (не различимы по банку — идентичны и в спецификации ФИПИ)

В окружность с центром в точке вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки до сторон треугольника равно . Найдите сторону треугольника.

✓ Ответ подтверждён

Источник: ai_solved_fipi_verified · подтверждено 2026-09-25 18:27:01.483046+00:00

Для решения задачи выполним следующие шаги:
1. В равностороннем треугольнике центр описанной окружности (точка $O$) совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис.
2. Расстояние от центра $O$ до стороны треугольника является радиусом вписанной окружности ($r$).
3. По условию $r = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
4. В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности связан с высотой ($h$) соотношением $r = \frac{1}{3}h$.
5. Найдем высоту треугольника: $h = 3r = 3 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$.
6. Формула высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ имеет вид $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
7. Приравняем полученное значение высоты к формуле: $\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$.
8. Сократив обе части на $\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем $a = 9$.

Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.