Задание D323D4

7.4 Окружность и круг Краткий ответ 15-18 — Геометрия, краткий ответ (не различимы по банку — идентичны и в спецификации ФИПИ)

Диагональ ромба равна 6, а . Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

✓ Ответ подтверждён

2.4

Источник: ai_solved_fipi_verified · подтверждено 2026-09-25 19:03:57.475583+00:00

1. Обозначим точку пересечения диагоналей ромба как $O$.
2. Диагональ $AC = 6$, значит, $OC = AC / 2 = 3$.
3. Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, треугольник $BOC$ — прямоугольный.
4. По определению тангенса в треугольнике $BOC$: $\text{tg } BCA = OB / OC = 4/3$.
5. Подставим значение $OC = 3$: $OB / 3 = 4/3$, откуда $OB = 4$.
6. Сторона $BC$ по теореме Пифагора равна $\sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.
7. Высота ромба $h$ равна $2 \times \text{площадь треугольника } BOC / OC$, или через синус: $h = 2 \times OB \times OC / BC$.
8. Вычисляем высоту ромба: $h = (2 \times 4 \times 3) / 5 = 24 / 5 = 4,8$.
9. Радиус вписанной окружности $r$ равен половине высоты ромба: $r = h / 2 = 2,4$.

Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.