Задание A1E947

Решение модель: google/gemini-3.1-flash-lite

1. 1. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $AC$ и $BD$.
2. 2. Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, треугольник $BOC$ является прямоугольным с прямым углом $O$.
3. 3. По условию $AC = 12$, значит, отрезок $OC$ равен половине диагонали, то есть $OC = 6$.
4. 4. Из прямоугольного треугольника $BOC$ по определению тангенса: $\text{tg } BCA = \frac{OB}{OC}$, откуда $\frac{4}{3} = \frac{OB}{6}$.
5. 5. Вычисляем длину $OB$: $OB = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8$.
6. 6. Радиус $r$ вписанной в ромб окружности является высотой прямоугольного треугольника $BOC$, опущенной из вершины прямого угла $O$ на гипотенузу $BC$.
7. 7. Сначала найдем гипотенузу $BC$ по теореме Пифагора: $BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
8. 8. Площадь треугольника $BOC$ можно выразить двумя способами: $\frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r$.
9. 9. Подставляем значения: $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot r$, что дает $48 = 10r$.
10. 10. Находим радиус: $r = 48 / 10 = 4,8$.