Задание 95A838

7.4 Окружность и круг Краткий ответ 15-18 — Геометрия, краткий ответ (не различимы по банку — идентичны и в спецификации ФИПИ)

В окружность с центром в точке вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки до сторон треугольника равно . Найдите сторону треугольника.

✓ Ответ подтверждён

Источник: ai_solved_fipi_verified · подтверждено 2026-09-25 19:41:39.679143+00:00

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего треугольника:
1. Расстояние от центра описанной окружности (точки O) до сторон равностороннего треугольника — это его радиус вписанной окружности ($r$).
2. В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности $r$ связан с высотой треугольника $h$ соотношением $r = \frac{1}{3}h$.
3. По условию $r = 5\sqrt{3}$, значит, высота треугольника $h = 3 \cdot r = 3 \cdot 5\sqrt{3} = 15\sqrt{3}$.
4. Формула высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ имеет вид $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
5. Приравняем значения высоты: $\frac{a\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$.
6. Разделим обе части на $\sqrt{3}$, получим $\frac{a}{2} = 15$.
7. Отсюда сторона треугольника $a = 15 \cdot 2 = 30$.

Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.