Задание 7EA942

7.4 Окружность и круг Краткий ответ 15-18 — Геометрия, краткий ответ (не различимы по банку — идентичны и в спецификации ФИПИ)

В окружность с центром в точке вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки до сторон треугольника равно . Найдите сторону треугольника.

✓ Ответ подтверждён

Источник: ai_solved_fipi_verified · подтверждено 2026-09-25 17:54:47.154439+00:00

1. В равностороннем треугольнике центр вписанной и описанной окружности совпадает и является точкой пересечения медиан, высот и биссектрис.
2. Расстояние от центра треугольника до его стороны — это радиус вписанной окружности ($r$).
3. По условию задачи $r = \frac{\sqrt{3}}{6}$.
4. Известно, что в равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности связан с высотой ($h$) соотношением $r = \frac{1}{3}h$.
5. Вычислим высоту треугольника: $h = 3r = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
6. Формула высоты равностороннего треугольника через его сторону ($a$): $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
7. Приравняем полученные значения: $\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
8. Отсюда следует, что сторона треугольника $a = 1$.

Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.