Задание 7991E8

7.4 Окружность и круг Краткий ответ 15-18 — Геометрия, краткий ответ (не различимы по банку — идентичны и в спецификации ФИПИ)

В окружность с центром в точке вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки до сторон треугольника равно . Найдите сторону треугольника.

✓ Ответ подтверждён

Источник: ai_solved_fipi_verified · подтверждено 2026-09-25 19:29:37.360163+00:00

1. Расстояние от центра равностороннего треугольника до его сторон является радиусом вписанной окружности ($r$).
2. По условию, это расстояние равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$, значит $r = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
3. В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром вписанной окружности, и радиус вписанной окружности связан с высотой треугольника ($h$) соотношением $r = \frac{1}{3}h$.
4. Выразим высоту: $h = 3 \cdot r = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.
5. Формула высоты равностороннего треугольника через его сторону ($a$) имеет вид $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
6. Приравняем значения высоты: $\frac{a\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
7. Сократив обе части на $\sqrt{3}$, получаем $\frac{a}{2} = 1$, откуда $a = 2$.

Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.