Задание 3EE8A1

7.4 Окружность и круг Краткий ответ 15-18 — Геометрия, краткий ответ (не различимы по банку — идентичны и в спецификации ФИПИ)

Диагональ ромба равна 30, а . Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

✓ Ответ подтверждён

Источник: ai_solved_fipi_verified · подтверждено 2026-09-25 19:16:36.550437+00:00

1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
2. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BOC$, в котором $OC = AC / 2 = 30 / 2 = 15$.
4. По определению тангенса в треугольнике $BOC$: $\text{tg } BCA = OB / OC = 4 / 3$.
5. Выразим $OB$: $OB = OC \cdot (4 / 3) = 15 \cdot (4 / 3) = 20$.
6. Сторона ромба $BC$ по теореме Пифагора равна $\sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25$.
7. Высота ромба $h$ равна $2 \cdot r$, где $r$ — радиус вписанной окружности.
8. Площадь ромба можно выразить как $S = (d_1 \cdot d_2) / 2 = (30 \cdot 40) / 2 = 600$, где $d_2 = BD = 2 \cdot OB = 40$.
9. С другой стороны, площадь ромба равна $S = \text{сторона} \cdot h = BC \cdot 2r = 25 \cdot 2r = 50r$.
10. Приравниваем площади: $50r = 600$.
11. Находим радиус: $r = 600 / 50 = 12$.

Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.