Задание 25984A

7.4 Окружность и круг Краткий ответ 15-18 — Геометрия, краткий ответ (не различимы по банку — идентичны и в спецификации ФИПИ)

Диагональ ромба равна 28, а . Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

✓ Ответ подтверждён

13.44

Источник: ai_solved_fipi_verified · подтверждено 2026-09-25 17:56:45.805677+00:00

1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения $O$ пополам.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BOC$, где $OC = AC / 2 = 28 / 2 = 14$.
3. Тангенс угла $BCA$ в треугольнике $BOC$ равен отношению противолежащего катета $BO$ к прилежащему катету $OC$.
4. Находим $BO = OC \cdot \text{tg} \angle BCA = 14 \cdot (24 / 7) = 2 \cdot 24 = 48$.
5. Найдем гипотенузу $BC$ по теореме Пифагора: $BC = \sqrt{OC^2 + BO^2} = \sqrt{14^2 + 48^2} = \sqrt{196 + 2304} = \sqrt{2500} = 50$.
6. Площадь ромба $S$ можно найти по диагоналям: $S = (d_1 \cdot d_2) / 2 = (AC \cdot BD) / 2 = (28 \cdot 96) / 2 = 14 \cdot 96 = 1344$.
7. С другой стороны, площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, которая равна удвоенному радиусу вписанной окружности ($h = 2r$), то есть $S = BC \cdot 2r$.
8. Выражаем радиус: $r = S / (2 \cdot BC) = 1344 / (2 \cdot 50) = 1344 / 100 = 13,44$.

Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.