Задание 139758

7.4 Окружность и круг Краткий ответ 15-18 — Геометрия, краткий ответ (не различимы по банку — идентичны и в спецификации ФИПИ)

В окружность с центром в точке вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки до сторон треугольника равно . Найдите сторону треугольника.

✓ Ответ подтверждён

Источник: ai_solved_fipi_verified · подтверждено 2026-09-25 19:09:07.163601+00:00

Для решения задачи выполним следующие шаги:
1. В равностороннем треугольнике центр описанной окружности $O$ совпадает с центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан, высот и биссектрис.
2. Расстояние от центра $O$ до стороны треугольника — это радиус вписанной окружности $r$.
3. По условию, $r = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
4. В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности $r$ связан со стороной треугольника $a$ формулой $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
5. Приравняем значение $r$ из условия к формуле: $\frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
6. Сократим обе части уравнения на $\sqrt{3}$: $\frac{a}{6} = \frac{2}{3}$.
7. Выразим $a$: $a = \frac{2 \cdot 6}{3} = \frac{12}{3} = 4$.

Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.