Задание 084057

7.4 Окружность и круг Краткий ответ 15-18 — Геометрия, краткий ответ (не различимы по банку — идентичны и в спецификации ФИПИ)

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен . Диаметр описанной около него окружности равен 26. Найдите площадь прямоугольника.

✓ Ответ подтверждён

240

Источник: ai_solved_fipi_verified · подтверждено 2026-09-25 19:08:43.834166+00:00

Диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, равна диаметру этой окружности, то есть 26.
Пусть $d = 26$ — диагональ, а $\alpha$ — угол между стороной и диагональю, $\sin \alpha = \frac{5}{13}$.
Одна из сторон прямоугольника $a$ равна $d \cdot \sin \alpha = 26 \cdot \frac{5}{13} = 10$.
Вторая сторона прямоугольника $b$ равна $d \cdot \cos \alpha$.
По основному тригонометрическому тождеству $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
Тогда сторона $b = 26 \cdot \frac{12}{13} = 24$.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $S = a \cdot b = 10 \cdot 24 = 240$.

Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.