Задание DB4Ae5
7.4 Тела и поверхности вращения
Краткий ответ
3 — Стереометрия (базовая)
| Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна Найдите радиус сферы. |
|
✓ Ответ подтверждён
9
Решение модель: google/gemini-3.1-flash-lite
- Рассмотрим конус в осевом сечении.
- Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R.
- Вершина конуса, центр основания и точка на окружности основания образуют прямоугольный треугольник.
- Катетами этого треугольника являются высота конуса h и радиус основания конуса r.
- Гипотенузой этого треугольника является образующая конуса l, равная 9 умножить на корень из 2.
- По условию центр сферы совпадает с центром основания конуса.
- Это означает, что радиус сферы R равен высоте конуса h и радиусу основания конуса r одновременно.
- Таким образом, треугольник, образованный высотой, радиусом основания и образующей, является равнобедренным прямоугольным треугольником.
- По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: r в квадрате плюс h в квадрате равно l в квадрате.
- Так как r равно h равно R, получаем уравнение: R в квадрате плюс R в квадрате равно (9 умножить на корень из 2) в квадрате.
- Два умножить на R в квадрате равно 81 умножить на 2.
- Разделим обе части на 2, получаем R в квадрате равно 81.
- Извлечем квадратный корень, радиус сферы R равен 9.
Проверить на ege.fipi.ru / oge.fipi.ru →
Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.