Задание 818625

Решение модель: groq/qwen/qwen3.8-27b

1. Для решения задачи нужно проанализировать структуру данного выражения.
2. Выражение имеет вид $4\sqrt{3} \cos^2 \alpha - 4\sqrt{3} \sin^2 \alpha$, где $\alpha = \frac{23\pi}{12}$.
3. Вынесем общий множитель $4\sqrt{3}$ за скобки.
4. Получим $4\sqrt{3} (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)$.
5. Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
6. Подставим эту формулу в выражение, получив $4\sqrt{3} \cos 2\alpha$.
7. Подставим значение угла $\alpha = \frac{23\pi}{12}$ в аргумент косинуса.
8. Получаем $4\sqrt{3} \cos \left(2 \cdot \frac{23\pi}{12}\right)$.
9. Упростим аргумент косинуса: $2 \cdot \frac{23\pi}{12} = \frac{23\pi}{6}$.
10. Выразим угол $\frac{23\pi}{6}$ через целое число оборотов и остаток.
11. $\frac{23\pi}{6} = \frac{18\pi + 5\pi}{6} = 3\pi + \frac{5\pi}{6}$.
12. Используем периодичность косинуса: $\cos(3\pi + \frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi + \frac{5\pi}{6})$.
13. Применим формулу сдвига аргумента: $\cos(\pi + x) = -\cos x$.
14. Получаем $-\cos \frac{5\pi}{6}$.
15. Найдем значение $\cos \frac{5\pi}{6}$, используя формулу приведения $\cos(\pi - x) = -\cos x$.
16. $\cos \frac{5\pi}{6} = -\cos \frac{\pi}{6}$.
17. Значит, $\cos \frac{23\pi}{6} = -(-\cos \frac{\pi}{6}) = \cos \frac{\pi}{6}$.
18. Известно, что $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
19. Подставим это значение обратно в исходное выражение.
20. Выражение равно $4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.
21. Упростим произведение: $4 \cdot \frac{3}{2}$.
22. Вычислим результат: $2 \cdot 3 = 6$.