Задание 76A1FD

Решение модель: groq/qwen/qwen3.8-27b

1. Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
2. Вынесем коэффициент 14 за скобки и применим формулу к произведению $\sin 51^\circ \cos 51^\circ$.
3. Произведение $\sin 51^\circ \cos 51^\circ$ равно $\frac{1}{2} \sin(2 \cdot 51^\circ)$.
4. Угол $2 \cdot 51^\circ$ равен $102^\circ$.
5. Выражение принимает вид $14 \cdot \frac{1}{2} \sin 102^\circ \cdot \sin 102^\circ$.
6. Упростим коэффициент: $14 \cdot \frac{1}{2} = 7$.
7. Получаем выражение $7 \sin^2 102^\circ$.
8. Используем формулу понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$.
9. Подставим $\alpha = 102^\circ$: $\sin^2 102^\circ = \frac{1 - \cos 204^\circ}{2}$.
10. Выражение становится $7 \cdot \frac{1 - \cos 204^\circ}{2}$.
11. Заметим, что $\cos 204^\circ = \cos(180^\circ + 24^\circ) = -\cos 24^\circ$.
12. Тогда числитель равен $1 - (-\cos 24^\circ) = 1 + \cos 24^\circ$.
13. Используем формулу косинуса двойного угла в обратную сторону: $1 + \cos 2\beta = 2 \cos^2 \beta$.
14. Здесь $2\beta = 24^\circ$, значит $\beta = 12^\circ$.
15. Числитель равен $2 \cos^2 12^\circ$.
16. Выражение принимает вид $7 \cdot \frac{2 \cos^2 12^\circ}{2}$.
17. Сократим дробь: $7 \cos^2 12^\circ$.
18. Подождите, давайте перепроверим условие. Возможно, я ошибся в интерпретации или есть более простой путь.
19. Давайте посмотрим на исходное выражение еще раз: $14 \sin 51^\circ \cos 51^\circ \sin 102^\circ$.
20. $\sin 102^\circ = \sin(2 \cdot 51^\circ) = 2 \sin 51^\circ \cos 51^\circ$.
21. Подставим это в исходное выражение: $14 \sin 51^\circ \cos 51^\circ (2 \sin 51^\circ \cos 51^\circ)$.
22. Это равно $28 (\sin 51^\circ \cos 51^\circ)^2$.
23. Снова используем $\sin 51^\circ \cos 51^\circ = \frac{1}{2} \sin 102^\circ$.
24. Тогда $(\sin 51^\circ \cos 51^\circ)^2 = \frac{1}{4} \sin^2 102^\circ$.
25. Выражение: $28 \cdot \frac{1}{4} \sin^2 102^\circ = 7 \sin^2 102^\circ$.
26. Это совпадает с предыдущим результатом.
27. $7 \sin^2 102^\circ = 7 \cos^2 12^\circ$.
28. Это не целое число. Где ошибка?
29. Давайте перечитаем условие внимательно.
30. "14 sin 51 ° ⋅ cos 51 ° sin 102 °"
31. Возможно, в условии опечатка или я неверно понял порядок действий? Нет, стандартный порядок.
32. Может быть, угол не 51, а другой? Или коэффициент другой?
33. Давайте проверим типичные задачи ЕГЭ.
34. Часто встречается выражение вида $\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin 2\alpha}$ или подобное.
35. Здесь нет деления.
36. Давайте проверим значение $\cos 12^\circ$. Оно иррационально.
37. Значит, ответ не может быть целым числом, если выражение именно такое.
38. Однако, инструкция говорит: "Эти задачи всегда имеют ответ в виде ЦЕЛОГО ЧИСЛА или КОНЕЧНОЙ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ".
39. Это означает, что я, скорее всего, неправильно прочитал условие или в условии есть скрытая особенность.
40. Давайте посмотрим на похожие задачи.
41. Возможно, выражение: $\frac{14 \sin 51^\circ \cos 51^\circ}{\sin 102^\circ}$?
42. Если бы было деление:
43. $\frac{14 \cdot \frac{1}{2} \sin 102^\circ}{\sin 102^\circ} = 7$.
44. Это целое число.
45. В условии написано "14 sin 51 ° ⋅ cos 51 ° sin 102 °".
46. Символ "⋅" означает умножение.
47. Но часто в текстовых формулировках ЕГЭ пропущенные скобки или деление могут быть представлены неоднозначно.
48. Однако, если строго следовать тексту "sin 102 °" стоит после "cos 51 °" без знака деления, это умножение.
49. Но результат $7 \cos^2 12^\circ \approx 7 \cdot 0.96 \approx 6.7$, что не является "красивым" ответом для ЕГЭ (целое или конечная дробь).
50. Давайте предположим, что в условии подразумевалось деление, так как это стандартный тип задачи на формулу двойного угла, где знаменатель сокращается.
51. Или, возможно, угол другой?
52. Если бы было $\frac{14 \sin 51^\circ \cos 51^\circ}{\sin 102^\circ}$, ответ 7.
53. Если бы было $14 \sin 51^\circ \cos 51^\circ \cdot \frac{1}{\sin 102^\circ}$, ответ 7.
54. Давайте проверим еще один вариант. Может быть, $\sin 102^\circ$ в знаменателе?
55. В тексте: "14 sin 51 ° ⋅ cos 51 ° sin 102 °".
56. В некоторых источниках задачи ЕГЭ записываются линейно, и если нет знака деления, это умножение.
57. Но давайте посмотрим на другие возможные интерпретации.
58. Может быть, $\cos 51^\circ$ на самом деле $\cot 51^\circ$? Нет, написано cos.
59. Может быть, $\sin 102^\circ$ на самом деле $\sin 12^\circ$?
60. $14 \sin 51 \cos 51 \sin 12 = 7 \sin 102 \sin 12 = 7 \cos 12 \sin 12 = \frac{7}{2} \sin 24$. Не целое.
61. Давайте вернемся к гипотезе о делении.
62. Задача: Найдите значение выражения $\frac{14 \sin 51^\circ \cos 51^\circ}{\sin 102^\circ}$.
63. Решение:
64. 1. Используем формулу $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
65. 2. $\sin 51^\circ \cos 51^\circ = \frac{1}{2} \sin 102^\circ$.
66. 3. Подставляем в числитель: $14 \cdot \frac{1}{2} \sin 102^\circ = 7 \sin 102^\circ$.
67. 4. Выражение: $\frac{7 \sin 102^\circ}{\sin 102^\circ}$.
68. 5. Сокращаем: $7$.