Задание 23C8BB

Решение модель: groq/qwen/qwen3.8-27b

1. Для начала проанализируем структуру заданного выражения.
2. Вероятно, в условии опечатка, и под корнями находятся числа 2 и 8, а синус аргумента $7\pi/8$.
3. Перепишем выражение как $4\sqrt{2} - 8\sqrt{2} \sin\left(\frac{7\pi}{8}\right)$.
4. Используем формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$.
5. Тогда $\sin\left(\frac{7\pi}{8}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{8}\right)$.
6. Выразим $\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)$ через формулу половинного угла.
7. $\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2}}$.
8. Подставим значение $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
9. Получаем $\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$.
10. Подставим это значение обратно в исходное выражение.
11. Выражение принимает вид $4\sqrt{2} - 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$.
12. Упростим второе слагаемое: $8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} = 4\sqrt{2}\sqrt{2 - \sqrt{2}}$.
13. Теперь выражение равно $4\sqrt{2} - 4\sqrt{2}\sqrt{2 - \sqrt{2}}$.
14. Вынесем общий множитель $4\sqrt{2}$ за скобки.
15. Получим $4\sqrt{2} (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2}})$.
16. Это выражение не упрощается до целого числа или конечной десятичной дроби.
17. Пересмотрим условие задачи. Возможно, выражение было $4\sqrt{2} - 8\sqrt{2} \sin^2\left(\frac{7\pi}{8}\right)$?
18. Если бы было $\sin^2$, то $\sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{2-\sqrt{2}}{4}$.
19. Тогда $8\sqrt{2} \cdot \frac{2-\sqrt{2}}{4} = 2\sqrt{2}(2-\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} - 4$.
20. Выражение стало бы $4\sqrt{2} - (4\sqrt{2} - 4) = 4$.
21. Однако в условии написано просто $\sin$.
22. Давайте проверим еще один вариант интерпретации.
23. Возможно, выражение $4\sqrt{2} - 8\sqrt{2} \sin\left(\frac{7\pi}{8}\right)$ не является стандартной задачей ЕГЭ с целым ответом без дополнительных условий или опечатки в степени.
24. Но давайте посмотрим на похожие задачи. Часто встречается выражение вида $a\sqrt{b} - c\sqrt{b} \sin(\alpha)$.
25. Если ответ должен быть целым, возможно, я ошибся в интерпретации записи "4 2 − 8 2 sin 2 7π 8".
26. Может быть, это $4\sqrt{2} - 8\sqrt{2} \sin^2\left(\frac{7\pi}{8}\right)$?
27. В тексте написано "sin 2 7π 8", что может означать $\sin^2\left(\frac{7\pi}{8}\right)$.
28. Давайте решим именно этот вариант, так как он дает красивый ответ.
29. Выражение: $4\sqrt{2} - 8\sqrt{2} \sin^2\left(\frac{7\pi}{8}\right)$.
30. Используем формулу $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.
31. Тогда $\sin^2\left(\frac{7\pi}{8}\right) = \frac{1 - \cos\left(\frac{14\pi}{8}\right)}{2} = \frac{1 - \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)}{2}$.
32. Значение $\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
33. Подставим: $\sin^2\left(\frac{7\pi}{8}\right) = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$.
34. Умножим на $8\sqrt{2}$: $8\sqrt{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{4} = 2\sqrt{2}(2 - \sqrt{2})$.
35. Раскроем скобки: $4\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 4\sqrt{2} - 4$.
36. Подставим это в исходное выражение: $4\sqrt{2} - (4\sqrt{2} - 4)$.
37. Сократим подобные слагаемые: $4\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 4 = 4$.
38. Ответ является целым числом, что соответствует требованиям задачи.