Задание 20970C
4.1 Производная функции. Производные элементарных функций4.2 Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
Краткий ответ
9 — Функция, производная, интеграл
Найдите точку максимума функции 
.
✓ Ответ подтверждён
-2
Решение модель: google/gemini-robotics-er-2-preview
- Дана функция $y = (x+3)e^{3-x}$.
- Для нахождения точки максимума найдём производную этой функции по правилу производной произведения.
- Производная равна $y' = (x+3)' \cdot e^{3-x} + (x+3) \cdot (e^{3-x})'$.
- Вычисляем производные сомножителей: $y' = 1 \cdot e^{3-x} + (x+3) \cdot e^{3-x} \cdot (-1)$.
- Упростим выражение, вынеся общий множитель за скобки: $y' = e^{3-x} (1 - x - 3) = e^{3-x} (-x - 2)$.
- Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $e^{3-x} (-x - 2) = 0$.
- Так как показательная функция всегда больше нуля, получаем уравнение $-x - 2 = 0$.
- Отсюда находим единственную критическую точку: $x = -2$.
- При переходе через точку $x = -2$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.
Проверить на ege.fipi.ru / oge.fipi.ru →
Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.