Задание FAC22B

Решение (groq/qwen/qwen3.8-27b)

1. Пусть $x$ — производительность первой трубы в литрах в минуту.
2. Тогда производительность второй трубы равна $x + 5$ литров в минуту.
3. Время заполнения резервуара первой трубой составляет $\frac{104}{x}$ минут.
4. Время заполнения резервуара второй трубой составляет $\frac{104}{x+5}$ минут.
5. По условию, первая труба заполняет резервуар на 5 минут дольше, чем вторая.
6. Составим уравнение: $\frac{104}{x} - \frac{104}{x+5} = 5$.
7. Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{104(x+5) - 104x}{x(x+5)} = 5$.
8. Раскроем скобки в числителе: $\frac{104x + 520 - 104x}{x(x+5)} = 5$.
9. Упростим числитель: $\frac{520}{x(x+5)} = 5$.
10. Умножим обе части уравнения на $x(x+5)$: $520 = 5x(x+5)$.
11. Разделим обе части на 5: $104 = x(x+5)$.
12. Раскроем скобки в правой части: $104 = x^2 + 5x$.
13. Перенесем все члены в одну сторону, получая квадратное уравнение: $x^2 + 5x - 104 = 0$.
14. Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-104) = 25 + 416 = 441$.
15. Извлечем квадратный корень из дискриминанта: $\sqrt{441} = 21$.
16. Найдем корни уравнения по формуле: $x_1 = \frac{-5 + 21}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
17. Найдем второй корень: $x_2 = \frac{-5 - 21}{2} = \frac{-26}{2} = -13$.
18. Производительность не может быть отрицательной, поэтому отбрасываем $x_2$.
19. Единственный подходящий корень — $x = 8$.
20. Проверим: первая труба пропускает 8 л/мин, вторая 13 л/мин.
21. Время первой: $104 / 8 = 13$ минут.
22. Время второй: $104 / 13 = 8$ минут.
23. Разница во времени: $13 - 8 = 5$ минут, что соответствует условию.