Задание F23E04

Решение (groq/qwen/qwen3.8-27b)

1. Обозначим скорость течения реки за $v$ км/ч.
2. Скорость лодки по течению равна $13 + v$ км/ч.
3. Скорость лодки против течения равна $13 - v$ км/ч.
4. Время, затраченное на путь против течения, равно $\frac{168}{13 - v}$ часов.
5. Время, затраченное на путь по течению, равно $\frac{168}{13 + v}$ часов.
6. По условию задачи, время по течению на 2 часа меньше времени против течения.
7. Составим уравнение: $\frac{168}{13 - v} - \frac{168}{13 + v} = 2$.
8. Разделим обе части уравнения на 2: $\frac{84}{13 - v} - \frac{84}{13 + v} = 1$.
9. Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{84(13 + v) - 84(13 - v)}{(13 - v)(13 + v)} = 1$.
10. Раскроем скобки в числителе: $\frac{1092 + 84v - 1092 + 84v}{169 - v^2} = 1$.
11. Упростим числитель: $\frac{168v}{169 - v^2} = 1$.
12. Умножим обе части на знаменатель: $168v = 169 - v^2$.
13. Перенесем все члены в одну сторону: $v^2 + 168v - 169 = 0$.
14. Найдем корни квадратного уравнения по формуле дискриминанта.
15. Дискриминант $D = 168^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-169) = 28224 + 676 = 28900$.
16. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{28900} = 170$.
17. Первый корень $v_1 = \frac{-168 + 170}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
18. Второй корень $v_2 = \frac{-168 - 170}{2} = \frac{-338}{2} = -169$.
19. Скорость течения не может быть отрицательной, поэтому отбрасываем $v_2$.
20. Единственный подходящий корень $v = 1$.
21. Проверим: скорость против течения $12$ км/ч, время $14$ ч; скорость по течению $14$ км/ч, время $12$ ч; разница $2$ ч.