Задание C9DB3D
2.5 Целые и дробно-рациональные неравенства
Краткий ответ
7/10/11 — Уравнения и текстовые задачи (не различимы по банку)
где время (в мин.), , . Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1800 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы:
✓ Ответ подтверждён
4
Решение (groq/qwen/qwen3.8-27b)
- Подставим известные значения в уравнение температуры.
- Получаем выражение $T(t) = 1380 + 165t - 15t^2$.
- Установим условие, при котором прибор может испортиться.
- Температура не должна превышать 1800 К, то есть $T(t) \le 1800$.
- Запишем неравенство: $1380 + 165t - 15t^2 \le 1800$.
- Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное неравенство.
- $15t^2 - 165t + (1800 - 1380) \ge 0$.
- Упростим константу: $1800 - 1380 = 420$.
- Получаем неравенство $15t^2 - 165t + 420 \ge 0$.
- Разделим обе части на 15 для упрощения.
- $t^2 - 11t + 28 \ge 0$.
- Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 11t + 28 = 0$.
- Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 121 - 112 = 9$.
- Корни уравнения: $t_1 = \frac{11 - 3}{2} = 4$ и $t_2 = \frac{11 + 3}{2} = 7$.
- Так как коэффициент при $t^2$ положительный, квадратный трехчлен неотрицательный вне интервала корней.
- Решение неравенства: $t \le 4$ или $t \ge 7$.
- Так как время $t$ должно быть неотрицательным ($t \ge 0$), допустимые значения времени лежат в промежутке $[0, 4]$.
- Это означает, что прибор работает безопасно первые 4 минуты.
- После 4 минут температура начинает превышать 1800 К.
- Следовательно, наибольшее время работы составляет 4 минуты.
Проверить на ege.fipi.ru / oge.fipi.ru →
Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.