Задание B73557

Решение (groq/qwen/qwen3.8-27b)

1. Найдем производную функции для анализа монотонности.
2. Производная равна $y' = -10 \sin x + \frac{36}{\pi}$.
3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки.
4. Получаем уравнение $-10 \sin x + \frac{36}{\pi} = 0$.
5. Отсюда $\sin x = \frac{36}{10\pi} = \frac{18}{5\pi}$.
6. Оценим значение $\frac{18}{5\pi}$.
7. Так как $\pi \approx 3.14$, то $5\pi \approx 15.7$.
8. Значит, $\sin x \approx \frac{18}{15.7} \approx 1.14$.
9. Так как синус любого действительного числа не может быть больше 1, уравнение $\sin x = \frac{18}{5\pi}$ не имеет решений.
10. Следовательно, производная не обращается в нуль на всей числовой прямой.
11. Определим знак производной на заданном отрезке $[-\frac{2\pi}{3}; 0]$.
12. На этом отрезке $x$ принимает значения от $-\frac{2\pi}{3}$ до $0$.
13. Значения синуса на этом отрезке лежат в диапазоне $[-\frac{\sqrt{3}}{2}; 0]$.
14. Максимальное значение $-10 \sin x$ на этом отрезке равно $10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$.
15. $5\sqrt{3} \approx 5 \cdot 1.732 = 8.66$.
16. Минимальное значение $-10 \sin x$ равно $0$.
17. Слагаемое $\frac{36}{\pi} \approx \frac{36}{3.14} \approx 11.46$.
18. Так как минимальное значение первой части производной ($0$) плюс $\frac{36}{\pi}$ ($\approx 11.46$) положительно, производная всегда положительна.
19. Более строго: $y' = \frac{36}{\pi} - 10 \sin x$.
20. На отрезке $[-\frac{2\pi}{3}; 0]$ функция $\sin x$ возрастает от $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ до $0$.
21. Следовательно, $-10 \sin x$ убывает от $5\sqrt{3}$ до $0$.
22. Минимальное значение производной на отрезке равно $0 + \frac{36}{\pi} = \frac{36}{\pi} > 0$.
23. Так как производная положительна на всем отрезке, функция возрастает.
24. Наименьшее значение функции достигается на левом конце отрезка, то есть при $x = -\frac{2\pi}{3}$.
25. Подставим $x = -\frac{2\pi}{3}$ в исходную функцию.
26. $y(-\frac{2\pi}{3}) = 10 \cos(-\frac{2\pi}{3}) + 36 \cdot (-\frac{2\pi}{3}) \cdot \frac{1}{\pi} - 6$.
27. Заметим, что в условии написано $36 x \pi$, но обычно в таких задачах подразумевается $36 x / \pi$ или $36 x \cdot \frac{1}{\pi}$?
28. Давайте внимательно прочитаем условие: "$36 x \pi$".
29. Если это $36 \cdot x \cdot \pi$, то при $x = -\frac{2\pi}{3}$ слагаемое будет $36 \cdot (-\frac{2\pi}{3}) \cdot \pi = -24 \pi^2$.
30. Тогда ответ будет иррациональным ($10 \cdot (-0.5) - 24\pi^2 - 6 = -5 - 24\pi^2 - 6 = -11 - 24\pi^2$).
31. Но в условии сказано, что ответ — целое число или конечная десятичная дробь.
32. Это означает, что в условии, скорее всего, опечатка, и имелось в виду $36 x / \pi$ или $36 x \cdot \frac{1}{\pi}$?
33. Или, возможно, коэффициент при $x$ таков, что $\pi$ сокращается.
34. Давайте посмотрим на стандартные формулировки. Часто встречается $y = 10 \cos x + 36 x / \pi - 6$.
35. Если $y = 10 \cos x + \frac{36 x}{\pi} - 6$, то производная $y' = -10 \sin x + \frac{36}{\pi}$.
36. Это совпадает с моими расчетами выше, где я предположил, что $\pi$ в знаменателе.
37. В тексте задачи написано "36 x π". В некоторых форматах это может означать $36 x / \pi$, если "/" пропущено, или это $36 x \cdot \pi$.
38. Если это $36 x \pi$, ответ иррационален.
39. Если это $36 x / \pi$, ответ рационален.
40. Учитывая требование к формату ответа (целое или конечная дробь), будем считать, что линейный член равен $\frac{36x}{\pi}$.
41. Проверим еще раз условие. "36 x π". Возможно, это $36 x / \pi$?
42. Да, в задачах ЕГЭ часто встречается вид $k x / \pi$.
43. Предположим, функция $y = 10 \cos x + \frac{36 x}{\pi} - 6$.
44. Тогда $y(-\frac{2\pi}{3}) = 10 \cos(-\frac{2\pi}{3}) + \frac{36 (-\frac{2\pi}{3})}{\pi} - 6$.
45. $\cos(-\frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
46. Первое слагаемое: $10 \cdot (-\frac{1}{2}) = -5$.
47. Второе слагаемое: $\frac{36 \cdot (-\frac{2\pi}{3})}{\pi} = 36 \cdot (-\frac{2}{3}) = -24$.
48. Третье слагаемое: $-6$.
49. Сумма: $-5 - 24 - 6 = -35$.
50. Это целое число.
51. Если же в условии действительно $36 x \pi$, то:
52. $y(-\frac{2\pi}{3}) = -5 + 36(-\frac{2\pi}{3})\pi - 6 = -11 - 24\pi^2$.
53. Это не целое число и не конечная дробь.
54. Следовательно, в условии подразумевается деление на $\pi$.
55. Вероятно, в исходном тексте "36 x / π" было записано как "36 x π" из-за ошибки форматирования или опечатки в транслитерации/копировании, где "/" потерялось, или это стандартная запись $36x/\pi$.
56. Другой вариант: коэффициент $36/\pi$ записан как $36 x \pi^{-1}$? Нет.
57. Самый логичный вывод: линейный член $\frac{36x}{\pi}$.
58. Вычислим значение:
59. $y_{min} = -5 - 24 - 6 = -35$.
60. Проверим правый конец отрезка $x=0$ для уверенности (хотя функция возрастает).
61. $y(0) = 10 \cos 0 + 0 - 6 = 10 - 6 = 4$.
62. $-35 < 4$.
63. Наименьшее значение равно -35.