Задание B4B4EA

Решение (groq/qwen/qwen3.8-27b)

1. Найдем производную функции для анализа монотонности.
2. Производная равна $y' = -3 \sin x - 5$.
3. Приравняем производную к нулю для поиска критических точек.
4. Получаем уравнение $-3 \sin x - 5 = 0$.
5. Отсюда следует, что $\sin x = -\frac{5}{3}$.
6. Так как модуль синуса не может превышать единицу, корней нет.
7. Значит, производная не обращается в ноль на данном отрезке.
8. Определим знак производной на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}; 0]$.
9. На этом отрезке $\sin x$ принимает значения от $-1$ до $1$.
10. Следовательно, $-3 \sin x$ лежит в диапазоне $[-3; 3]$.
11. Вычитая 5, получаем, что $y' \in [-8; -2]$.
12. Производная всегда отрицательна на всем отрезке.
13. Это означает, что функция строго убывает на данном отрезке.
14. Наименьшее значение функции достигается в правой границе отрезка.
15. Подставим $x = 0$ в исходную функцию.
16. Получаем $y(0) = 3 \cos 0 - 5 \cdot 0 + 5$.
17. Так как $\cos 0 = 1$, вычислим выражение.
18. $y(0) = 3 \cdot 1 - 0 + 5 = 8$.
19. Наименьшее значение функции равно 8.