Задание AC8783
4.2 Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
Краткий ответ
9 — Функция, производная, интеграл
Найдите точку минимума функции
✓ Ответ подтверждён
10
Решение (groq/qwen/qwen3.8-27b)
- Найдем производную данной функции.
- Производная равна $y' = 3x^2 - 40x + 100$.
- Приравняем производную к нулю для поиска критических точек.
- Получаем квадратное уравнение $3x^2 - 40x + 100 = 0$.
- Вычислим дискриминант этого уравнения.
- $D = (-40)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 100 = 1600 - 1200 = 400$.
- Найдем корни квадратного уравнения по формуле.
- $x_1 = \frac{40 - \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{40 - 20}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.
- $x_2 = \frac{40 + \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{40 + 20}{6} = \frac{60}{6} = 10$.
- Найдем вторую производную функции для определения характера экстремумов.
- Вторая производная равна $y'' = 6x - 40$.
- Подставим первый корень $x_1 = \frac{10}{3}$ во вторую производную.
- $y''(\frac{10}{3}) = 6 \cdot \frac{10}{3} - 40 = 20 - 40 = -20$.
- Так как вторая производная отрицательна, это точка максимума.
- Подставим второй корень $x_2 = 10$ во вторую производную.
- $y''(10) = 6 \cdot 10 - 40 = 60 - 40 = 20$.
- Так как вторая производная положительна, это точка минимума.
- Следовательно, точка минимума находится при $x = 10$.
Проверить на ege.fipi.ru / oge.fipi.ru →
Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.