Задание A68E99
1.5 Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус, арктангенс числового аргумента1.8 Преобразование выражений
Краткий ответ
8 — Числа и вычисления
Найдите значение выражения .
✓ Ответ подтверждён
3
Решение (google/gemini-flash-lite-latest)
- Давайте решим задачу пошагово.
- Запишем исходное выражение: $3\sqrt{2}\cos^2\left(\frac{9\pi}{8}\right) - 3\sqrt{2}\sin^2\left(\frac{9\pi}{8}\right)$.
- Вынесем общий множитель $3\sqrt{2}$ за скобки.
- Получим выражение: $3\sqrt{2} \left( \cos^2\left(\frac{9\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{9\pi}{8}\right) \right)$.
- Вспомним формулу двойного угла для косинуса: $\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = \cos(2\alpha)$.
- Применим эту формулу, где $\alpha = \frac{9\pi}{8}$.
- Аргумент нового косинуса равен $2 \cdot \frac{9\pi}{8} = \frac{9\pi}{4}$.
- Выражение принимает вид: $3\sqrt{2}\cos\left(\frac{9\pi}{4}\right)$.
- Представим $\frac{9\pi}{4}$ как $2\pi + \frac{\pi}{4}$.
- По формуле периодичности косинуса $\cos\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$.
- Значение $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
- Подставим это значение обратно: $3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$.
- Умножим числители: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$.
- Получаем: $\frac{3 \cdot 2}{2}$.
- Сократим двойки и получим итоговое число 3.
Проверить на ege.fipi.ru / oge.fipi.ru →
Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.