Задание A08F25
2.1 Целые и дробно-рациональные уравнения
Краткий ответ
7/10/11 — Уравнения и текстовые задачи (не различимы по банку)
Моторная лодка прошла против течения реки 117 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
✓ Ответ подтверждён
11
Решение (groq/qwen/qwen3.8-27b)
- Обозначим скорость лодки в неподвижной воде через $v$ км/ч.
- Скорость лодки против течения равна $v - 2$ км/ч.
- Скорость лодки по течению равна $v + 2$ км/ч.
- Время движения против течения составляет $\frac{117}{v - 2}$ часов.
- Время движения по течению составляет $\frac{117}{v + 2}$ часов.
- По условию, время по течению на 4 часа меньше, чем против течения.
- Составим уравнение: $\frac{117}{v - 2} - \frac{117}{v + 2} = 4$.
- Вынесем 117 за скобки: $117 \left( \frac{1}{v - 2} - \frac{1}{v + 2} \right) = 4$.
- Приведем дроби в скобках к общему знаменателю: $\frac{(v + 2) - (v - 2)}{(v - 2)(v + 2)} = \frac{4}{v^2 - 4}$.
- Подставим это выражение обратно в уравнение: $117 \cdot \frac{4}{v^2 - 4} = 4$.
- Разделим обе части уравнения на 4: $\frac{117}{v^2 - 4} = 1$.
- Умножим обе части на $v^2 - 4$: $117 = v^2 - 4$.
- Перенесем 4 в левую часть: $v^2 = 121$.
- Извлечем квадратный корень: $v = 11$ или $v = -11$.
- Так как скорость не может быть отрицательной, принимаем $v = 11$.
- Проверим: против течения скорость 9 км/ч, время 13 ч; по течению скорость 13 км/ч, время 9 ч; разница 4 часа.
- Ответ является целым числом.
Проверить на ege.fipi.ru / oge.fipi.ru →
Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.