Задание 98B1C6
2.5 Целые и дробно-рациональные неравенства
Краткий ответ
7/10/11 — Уравнения и текстовые задачи (не различимы по банку)
где время (в мин.), , . Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1870 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы:
✓ Ответ подтверждён
3
Решение (groq/qwen/qwen3.8-27b)
- Подставим известные значения в уравнение температуры.
- Получим выражение $T(t) = 1600 + 105t - 5t^2$.
- Прибор испортится, если температура превысит 1870 К.
- Нам нужно найти время, когда температура станет равна 1870 К.
- Приравняем выражение для температуры к 1870.
- Получим уравнение $1600 + 105t - 5t^2 = 1870$.
- Перенесем все члены в одну сторону уравнения.
- Получим $5t^2 - 105t + 270 = 0$.
- Разделим все члены уравнения на 5 для упрощения.
- Получим квадратное уравнение $t^2 - 21t + 54 = 0$.
- Найдем корни этого квадратного уравнения.
- По теореме Виета сумма корней равна 21, а произведение равно 54.
- Подберем два числа, сумма которых 21, а произведение 54.
- Эти числа равны 3 и 18.
- Таким образом, корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = 18$.
- График функции $T(t)$ — это парабола, ветви которой направлены вниз.
- Температура выше 1870 К в промежутке между корнями.
- Прибор начинает работать при $t=0$, когда $T=1600$ К.
- Температура растет и достигает 1870 К при $t=3$ мин.
- Далее температура остается выше 1870 К до момента $t=18$ мин.
- После $t=18$ мин температура начинает падать ниже 1870 К.
- Чтобы прибор не испортился, его нужно отключить до того, как температура превысит 1870 К.
- Однако условие говорит "наибольшее время", что подразумевает момент, когда температура еще не превысила критическую или только достигла ее в последний раз перед падением? Нет, обычно в таких задачах "отключить" означает, что прибор работает, пока температура не достигла критической отметки. Но если температура выше 1870, прибор *может* испортиться. Обычно подразумевается, что прибор работает в безопасном режиме, пока $T \le 1870$.
- Давайте перечитаем условие внимательно: "при температуре ... свыше 1870 К прибор может испортиться". Это значит, что безопасная область — это $T \le 1870$.
- При $t=0$, $T=1600 \le 1870$.
- При $t=3$, $T=1870$.
- При $t=4$, $T = 1600 + 420 - 80 = 1940 > 1870$.
- Значит, с момента $t=3$ прибор находится в опасной зоне.
- Но вопрос: "через какое наибольшее время ... нужно отключить прибор".
- Если мы отключим прибор в момент $t=3$, он не испортится.
- Если мы отключим его позже, например в $t=18$, то в промежутке $(3, 18)$ температура была выше 1870 К, и прибор мог испортиться.
- Следовательно, прибор нужно отключить в момент, когда температура впервые достигает критического значения.
- Таким образом, искомое время — это меньший корень.
Проверить на ege.fipi.ru / oge.fipi.ru →
Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.