Задание 97AEB6

Решение (groq/qwen/qwen3.8-27b)

1. Найдем производную функции для анализа монотонности.
2. Производная равна $y' = \frac{9}{x+7} - 9$.
3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки.
4. Получаем уравнение $\frac{9}{x+7} = 9$.
5. Следовательно, $x + 7 = 1$.
6. Отсюда находим единственную критическую точку $x = -6$.
7. Проверим, принадлежит ли эта точка заданному отрезку $[-6,5; 0]$.
8. Точка $x = -6$ не входит в отрезок, так как $-6 < -6,5$ неверно, но $-6 > -6,5$, значит точка внутри? Нет, $-6$ больше $-6,5$, значит точка $-6$ лежит внутри отрезка $[-6,5; 0]$.
9. Определим знак производной на отрезке.
10. Если $x \in [-6,5; -6)$, то $x+7 \in [1,5; 2)$, значит $\frac{9}{x+7} > 4,5$, но нужно сравнить с 9.
11. При $x = -6,5$, $x+7 = 0,5$, $\frac{9}{0,5} = 18$, $18 - 9 = 9 > 0$.
12. При $x = -6$, $x+7 = 1$, $\frac{9}{1} = 9$, $9 - 9 = 0$.
13. При $x \in (-6; 0]$, например $x = -5$, $x+7 = 2$, $\frac{9}{2} = 4,5$, $4,5 - 9 = -4,5 < 0$.
14. Значит, функция возрастает на $[-6,5; -6]$ и убывает на $[-6; 0]$.
15. Наибольшее значение достигается в точке максимума $x = -6$.
16. Подставим $x = -6$ в исходную функцию.
17. $y(-6) = 9 \ln(-6 + 7) - 9(-6) + 4$.
18. Упрощаем выражение: $y(-6) = 9 \ln(1) + 54 + 4$.
19. Так как $\ln(1) = 0$, получаем $y(-6) = 0 + 54 + 4$.
20. Складываем числа: $54 + 4 = 58$.
21. Проверим значения на концах отрезка для уверенности.
22. При $x = -6,5$: $y = 9 \ln(0,5) + 58,5 + 4 = 9(-\ln 2) + 62,5 \approx 9(-0,693) + 62,5 \approx -6,24 + 62,5 = 56,26$.
23. При $x = 0$: $y = 9 \ln(7) - 0 + 4 \approx 9(1,946) + 4 \approx 17,5 + 4 = 21,5$.
24. Сравниваем значения: $58 > 56,26$ и $58 > 21,5$.
25. Наибольшее значение равно 58.