Задание 83B485

Решение (google/gemini-3-flash-preview)

1. Для решения данного тригонометрического выражения воспользуемся формулами приведения и формулой двойного аргумента.
2. 1. Будем считать, что выражение представляет собой дробь, где числитель равен $3 \sin 164^{\circ}$, а знаменатель — $\sin 82^{\circ} \cdot \sin 8^{\circ}$.
3. 2. Сначала упростим числитель, используя формулу приведения $\sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha$.
4. 3. Заметим, что $164^{\circ} = 180^{\circ} - 16^{\circ}$, следовательно, $\sin 164^{\circ} = \sin 16^{\circ}$.
5. 4. Теперь применим к $\sin 16^{\circ}$ формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
6. 5. Получаем, что $\sin 16^{\circ} = 2 \sin 8^{\circ} \cos 8^{\circ}$.
7. 6. Таким образом, числитель принимает вид: $3 \cdot 2 \sin 8^{\circ} \cos 8^{\circ} = 6 \sin 8^{\circ} \cos 8^{\circ}$.
8. 7. Теперь преобразуем знаменатель, используя формулу приведения $\sin(90^{\circ} - \alpha) = \cos \alpha$.
9. 8. Заметим, что $82^{\circ} = 90^{\circ} - 8^{\circ}$, следовательно, $\sin 82^{\circ} = \cos 8^{\circ}$.
10. 9. Знаменатель принимает вид: $\cos 8^{\circ} \cdot \sin 8^{\circ}$.
11. 10. Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь.
12. 11. Получаем выражение: $(6 \sin 8^{\circ} \cos 8^{\circ}) / (\cos 8^{\circ} \sin 8^{\circ})$.
13. 12. Сократим дробь на общее произведение $\sin 8^{\circ} \cos 8^{\circ}$.
14. 13. В результате сокращения остается число 6.