Задание 8151AA
4.1 Производная функции. Производные элементарных функций4.2 Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
Краткий ответ
9 — Функция, производная, интеграл
Найдите наибольшее значение функции на отрезке
✓ Ответ подтверждён
23
Решение (google/gemini-3.6-flash)
- Заданная функция имеет вид $y = 7 + 12x - 4x\sqrt{x}$, или $y = 7 + 12x - 4x^{\frac{3}{2}}$.
- Найдем производную заданной функции: $y' = 12 - 4 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = 12 - 6\sqrt{x}$.
- Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $12 - 6\sqrt{x} = 0$.
- Решая уравнение, получаем $6\sqrt{x} = 12$, откуда $\sqrt{x} = 2$.
- Значит, точка возможного экстремума равна $x = 4$.
- Точка $x = 4$ принадлежит отрезку $[0; 12]$.
- На промежутке $[0; 4)$ производная функции положительна, поэтому функция возрастает.
- На промежутке $(4; 12]$ производная функции отрицательна, поэтому функция убывает.
- Таким образом, точка $x = 4$ является точкой максимума функции на заданном отрезке.
- Подставим $x = 4$ в исходную функцию: $y(4) = 7 + 12 \cdot 4 - 4 \cdot 4 \cdot \sqrt{4}$.
- Вычислим значение: $y(4) = 7 + 48 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 7 + 48 - 32 = 23$.
Проверить на ege.fipi.ru / oge.fipi.ru →
Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.