Задание 76054F

Решение (groq/qwen/qwen3.8-27b)

1. Найдем производную функции для анализа монотонности.
2. Производная равна $y' = -10 \sin x + 14$.
3. Приравняем производную к нулю для поиска критических точек.
4. Получаем уравнение $-10 \sin x + 14 = 0$.
5. Отсюда $\sin x = 1.4$.
6. Так как область значений синуса ограничена отрезком $[-1; 1]$, уравнение не имеет решений.
7. Следовательно, производная не обращается в ноль на данном отрезке.
8. Определим знак производной на отрезке $[0; \frac{3\pi}{2}]$.
9. Так как $\sin x \le 1$, то $-10 \sin x \ge -10$.
10. Следовательно, $y' = 14 - 10 \sin x \ge 14 - 10 = 4 > 0$.
11. Производная положительна на всем отрезке.
12. Функция строго возрастает на отрезке $[0; \frac{3\pi}{2}]$.
13. Наименьшее значение функции достигается в левой границе отрезка, то есть при $x = 0$.
14. Подставим $x = 0$ в исходную функцию.
15. $y(0) = 10 \cos 0 + 14 \cdot 0 + 9$.
16. Так как $\cos 0 = 1$, получаем $y(0) = 10 \cdot 1 + 0 + 9$.
17. Вычислим сумму: $10 + 9 = 19$.
18. Наименьшее значение функции равно 19.