Задание 598D07

Решение (groq/qwen/qwen3.8-27b)

1. Обозначим скорость течения реки через $v$ км/ч.
2. Скорость лодки по течению равна $9 + v$ км/ч.
3. Скорость лодки против течения равна $9 - v$ км/ч.
4. Время движения против течения составляет $\frac{77}{9 - v}$ часов.
5. Время движения по течению составляет $\frac{77}{9 + v}$ часов.
6. По условию, время по течению на 4 часа меньше времени против течения.
7. Составим уравнение: $\frac{77}{9 - v} - \frac{77}{9 + v} = 4$.
8. Разделим обе части уравнения на 4: $\frac{77}{4(9 - v)} - \frac{77}{4(9 + v)} = 1$.
9. Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{77(9 + v) - 77(9 - v)}{4(9 - v)(9 + v)} = 1$.
10. Упростим числитель: $77 \cdot 9 + 77v - 77 \cdot 9 + 77v = 154v$.
11. Получаем уравнение: $\frac{154v}{4(81 - v^2)} = 1$.
12. Умножим обе части на знаменатель: $154v = 4(81 - v^2)$.
13. Разделим обе части на 2: $77v = 2(81 - v^2)$.
14. Раскроем скобки: $77v = 162 - 2v^2$.
15. Перенесем все члены в левую часть: $2v^2 + 77v - 162 = 0$.
16. Найдем дискриминант квадратного уравнения: $D = 77^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-162)$.
17. Вычислим $77^2 = 5929$.
18. Вычислим $4 \cdot 2 \cdot 162 = 8 \cdot 162 = 1296$.
19. Сложим значения: $D = 5929 + 1296 = 7225$.
20. Извлечем квадратный корень из дискриминанта: $\sqrt{7225} = 85$.
21. Найдем корни уравнения: $v = \frac{-77 \pm 85}{4}$.
22. Первый корень: $v_1 = \frac{-77 + 85}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
23. Второй корень: $v_2 = \frac{-77 - 85}{4} = \frac{-162}{4} = -40.5$.
24. Так как скорость течения должна быть положительной и меньше собственной скорости лодки ($v < 9$), принимаем $v = 2$.
25. Проверим: время против течения $\frac{77}{7} = 11$ ч, по течению $\frac{77}{11} = 7$ ч, разница $11 - 7 = 4$ ч.
26. Условие выполнено.