Задание 3EDEF2
2.1 Целые и дробно-рациональные уравнения2.5 Целые и дробно-рациональные неравенства
Краткий ответ
7/10/11 — Уравнения и текстовые задачи (не различимы по банку)
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием см. Расстояние от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 20 см до 40 см, а расстояние от линзы до экрана в пределах от 160 см
до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение
.
На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.
✓ Ответ подтверждён
36
Решение (groq/qwen/qwen3.8-27b)
- Используем формулу тонкой линзы: $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}$.
- Подставим известное значение фокусного расстояния $f = 30$ см.
- Получаем уравнение $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{30}$.
- Выразим $d_1$ через $d_2$: $\frac{1}{d_1} = \frac{1}{30} - \frac{1}{d_2}$.
- Приведем правую часть к общему знаменателю: $\frac{1}{d_1} = \frac{d_2 - 30}{30 d_2}$.
- Инвертируем обе части, чтобы найти $d_1$: $d_1 = \frac{30 d_2}{d_2 - 30}$.
- Упростим выражение, разделив числитель и знаменатель: $d_1 = \frac{30(d_2 - 30 + 30)}{d_2 - 30} = 30 + \frac{900}{d_2 - 30}$.
- Нам нужно найти наименьшее значение $d_1$.
- Функция $d_1(d_2)$ убывает при увеличении $d_2$, так как знаменатель дроби $\frac{900}{d_2 - 30}$ уменьшается.
- Следовательно, минимальное $d_1$ достигается при максимальном $d_2$.
- Диапазон изменения $d_2$ составляет от 160 см до 180 см.
- Максимальное значение $d_2$ равно 180 см.
- Подставим $d_2 = 180$ в формулу для $d_1$.
- $d_1 = 30 + \frac{900}{180 - 30}$.
- Вычислим знаменатель: $180 - 30 = 150$.
- Вычислим дробь: $\frac{900}{150} = 6$.
- Найдем сумму: $d_1 = 30 + 6 = 36$.
- Проверим, попадает ли полученное значение $d_1 = 36$ в допустимый диапазон от 20 до 40 см.
- Да, $20 \le 36 \le 40$, условие выполнено.
- Таким образом, наименьшее расстояние от линзы до лампочки равно 36 см.
Проверить на ege.fipi.ru / oge.fipi.ru →
Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.