Задание 33F1B8
4.1 Производная функции. Производные элементарных функций4.2 Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
Краткий ответ
9 — Функция, производная, интеграл
Найдите точку максимума функции
✓ Ответ подтверждён
36
Решение (google/gemini-3-flash-preview)
- Представим выражение $x\sqrt{x}$ как $x$ в степени 1.5.
- Запишем исходную функцию в виде $y = 4 + 9x - x^{1.5}$.
- Найдем производную функции по правилу дифференцирования.
- Производная константы 4 равна 0.
- Производная $9x$ равна 9.
- Производная $x^{1.5}$ равна $1.5 \cdot x^{0.5}$ или $1.5\sqrt{x}$.
- Получаем уравнение для производной: $y' = 9 - 1.5\sqrt{x}$.
- Для нахождения точек экстремума приравняем производную к нулю: $9 - 1.5\sqrt{x} = 0$.
- Перенесем слагаемое с корнем в правую часть уравнения: $1.5\sqrt{x} = 9$.
- Разделим обе части уравнения на 1.5: $\sqrt{x} = 6$.
- Возведем обе части уравнения в квадрат: $x = 36$.
- Проверим знак производной левее точки 36, например, при $x = 25$: $y' = 9 - 1.5 \cdot 5 = 1.5$ (положительно).
- Проверим знак производной правее точки 36, например, при $x = 49$: $y' = 9 - 1.5 \cdot 7 = -1.5$ (отрицательно).
- Так как производная меняет знак с плюса на минус, точка $x = 36$ является точкой максимума.
Проверить на ege.fipi.ru / oge.fipi.ru →
Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.