Задание 338D5A

Решение (groq/qwen/qwen3.8-27b)

1. Используем формулу тонкой линзы: $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}$.
2. Подставим известное значение фокусного расстояния $f = 36$ см.
3. Выразим расстояние до экрана $d_2$ через расстояние до предмета $d_1$.
4. Из уравнения получаем $\frac{1}{d_2} = \frac{1}{36} - \frac{1}{d_1}$.
5. Приведем правую часть к общему знаменателю: $\frac{1}{d_2} = \frac{d_1 - 36}{36 d_1}$.
6. Инвертируем обе части, чтобы найти $d_2$: $d_2 = \frac{36 d_1}{d_1 - 36}$.
7. Так как изображение реальное и увеличенное, предмет должен находиться между фокусом и двойным фокусом, то есть $36 < d_1 < 72$.
8. Условие задачи требует, чтобы $d_2$ находилось в пределах от 160 до 180 см.
9. Запишем неравенство: $160 \le \frac{36 d_1}{d_1 - 36} \le 180$.
10. Разберем левую часть неравенства: $\frac{36 d_1}{d_1 - 36} \ge 160$.
11. Так как $d_1 > 36$, знаменатель положительный, умножим обе части на $d_1 - 36$.
12. Получаем $36 d_1 \ge 160 (d_1 - 36)$.
13. Раскроем скобки: $36 d_1 \ge 160 d_1 - 5760$.
14. Перенесем слагаемые с $d_1$ в одну сторону: $5760 \ge 124 d_1$.
15. Отсюда $d_1 \le \frac{5760}{124}$.
16. Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4: $d_1 \le \frac{1440}{31}$.
17. Оценим значение: $\frac{1440}{31} \approx 46.45$ см.
18. Теперь разберем правую часть неравенства: $\frac{36 d_1}{d_1 - 36} \le 180$.
19. Умножим обе части на $d_1 - 36$: $36 d_1 \le 180 (d_1 - 36)$.
20. Раскроем скобки: $36 d_1 \le 180 d_1 - 6480$.
21. Перенесем слагаемые: $6480 \le 144 d_1$.
22. Отсюда $d_1 \ge \frac{6480}{144}$.
23. Вычислим значение: $d_1 \ge 45$ см.
24. Таким образом, допустимые значения $d_1$ лежат в интервале $[45; \frac{1440}{31}]$.
25. Нужно найти наименьшее расстояние $d_1$.
26. Наименьшее значение соответствует нижней границе интервала.
27. Проверим, входит ли это значение в допустимый диапазон изменения $d_1$ (от 30 до 50 см).
28. Значение 45 см находится в пределах от 30 до 50 см.
29. Следовательно, минимальное расстояние равно 45 см.