Задание 17A0D7

Решение (groq/qwen/qwen3.8-27b)

1. Обозначим скорость теплохода в неподвижной воде через $v$ км/ч.
2. Скорость теплохода по течению равна $v + 3$ км/ч.
3. Скорость теплохода против течения равна $v - 3$ км/ч.
4. Время движения по течению составляет $\frac{567}{v + 3}$ часов.
5. Время движения против течения составляет $\frac{567}{v - 3}$ часов.
6. Общее время в пути включает время движения и время стоянки.
7. Сумма времени движения и стоянки равна 54 часам.
8. Составим уравнение: $\frac{567}{v + 3} + \frac{567}{v - 3} + 6 = 54$.
9. Вычтем 6 из обеих частей уравнения: $\frac{567}{v + 3} + \frac{567}{v - 3} = 48$.
10. Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения: $\frac{189}{v + 3} + \frac{189}{v - 3} = 16$.
11. Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{189(v - 3) + 189(v + 3)}{(v + 3)(v - 3)} = 16$.
12. Раскроем скобки в числителе: $\frac{189v - 567 + 189v + 567}{v^2 - 9} = 16$.
13. Сократим подобные слагаемые в числителе: $\frac{378v}{v^2 - 9} = 16$.
14. Умножим обе части на $v^2 - 9$: $378v = 16(v^2 - 9)$.
15. Раскроем скобки в правой части: $378v = 16v^2 - 144$.
16. Перенесем все члены в одну сторону: $16v^2 - 378v - 144 = 0$.
17. Разделим уравнение на 2: $8v^2 - 189v - 72 = 0$.
18. Найдем дискриминант квадратного уравнения: $D = (-189)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-72)$.
19. Вычислим значение дискриминанта: $D = 35721 + 2304 = 38025$.
20. Извлечем квадратный корень из дискриминанта: $\sqrt{38025} = 195$.
21. Найдем корни уравнения: $v = \frac{189 \pm 195}{16}$.
22. Первый корень: $v_1 = \frac{189 + 195}{16} = \frac{384}{16} = 24$.
23. Второй корень: $v_2 = \frac{189 - 195}{16} = \frac{-6}{16} = -0.375$.
24. Скорость не может быть отрицательной, поэтому отбрасываем второй корень.
25. Проверим условие $v > 3$, так как скорость против течения должна быть положительной.
26. $24 > 3$, условие выполнено.