Задание 06B9F5
2.1 Целые и дробно-рациональные уравнения
Краткий ответ
7/10/11 — Уравнения и текстовые задачи (не различимы по банку)
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 13 часов. Ответ дайте в км/ч.
✓ Ответ подтверждён
18
Решение (groq/qwen/qwen3.8-27b)
- Обозначим скорость теплохода в неподвижной воде через $v$ км/ч.
- Скорость теплохода по течению равна $v + 2$ км/ч.
- Скорость теплохода против течения равна $v - 2$ км/ч.
- Время движения по течению составляет $\frac{80}{v + 2}$ часов.
- Время движения против течения составляет $\frac{80}{v - 2}$ часов.
- Общее время в пути без учета стоянки равно $13 - 4 = 9$ часов.
- Составим уравнение: $\frac{80}{v + 2} + \frac{80}{v - 2} = 9$.
- Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{80(v - 2) + 80(v + 2)}{v^2 - 4} = 9$.
- Упростим числитель: $\frac{80v - 160 + 80v + 160}{v^2 - 4} = 9$.
- Получаем: $\frac{160v}{v^2 - 4} = 9$.
- Перенесем все члены в одну сторону: $9(v^2 - 4) - 160v = 0$.
- Раскроем скобки: $9v^2 - 36 - 160v = 0$.
- Запишем квадратное уравнение: $9v^2 - 160v - 36 = 0$.
- Найдем дискриминант: $D = (-160)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-36)$.
- Вычислим значение дискриминанта: $D = 25600 + 1296 = 26896$.
- Извлечем квадратный корень из дискриминанта: $\sqrt{26896} = 164$.
- Найдем корни уравнения: $v = \frac{160 \pm 164}{18}$.
- Первый корень: $v_1 = \frac{160 + 164}{18} = \frac{324}{18} = 18$.
- Второй корень: $v_2 = \frac{160 - 164}{18} = \frac{-4}{18}$, который отбрасываем, так как скорость положительна.
- Таким образом, скорость теплохода в неподвижной воде равна 18 км/ч.
Проверить на ege.fipi.ru / oge.fipi.ru →
Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.