Задание 018816
7.1 Фигуры на плоскости
Краткий ответ
1 — Планиметрия (фигуры на плоскости)
| Острый угол прямоугольного треугольника равен . Найдите величину угла между высотой и медианой проведёнными из вершины прямого угла Ответ дайте в градусах. |
|
✓ Ответ подтверждён
72
Решение (groq/groq/compound-mini)
- У треугольнике ABC прямой угол находится в вершине C.
- Острый угол B равен 9°, значит угол A = 90° − 9° = 81°.
- Обозначим стороны: BC = a, AC = b, гипотенуза AB = c.
- Тангенс угла B: tan 9° = b/a ⇒ b = a·tan 9°.
- Вектор высоты CH, проведённой из C, перпендикулярен AB и имеет направление (a, b).
- Вектор медианы CM, проведённой из C, направлен к середине AB и имеет направление (b, a).
- Косинус угла θ между векторами (a, b) и (b, a) равен
- \( \displaystyle \cos\theta =\frac{2ab}{a^{2}+b^{2}} \).
- Подставляем b = a·tan 9°: \( \cos\theta =\frac{2\tan9^{\circ}}{1+\tan^{2}9^{\circ}} \).
- Выражение \( \frac{2\tan\alpha}{1+\tan^{2}\alpha} \) равно sin 2α, поэтому
- \( \cos\theta =\sin18^{\circ} \).
- Так как sin 18° = cos 72°, получаем \( \cos\theta =\cos72^{\circ} \).
- Следовательно, θ = 72° (острый угол между высотой и медианой).
Проверить на ege.fipi.ru / oge.fipi.ru →
Открывает эту же задачу на официальном сайте ФИПИ — можно убедиться, что она реально есть в открытом банке.