Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое $—$ трёхзначное и оба кратны 45.

а) Может ли сумма такой пары чисел равняться 2205? б) Может ли сумма такой пары чисел равняться 3435? в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?

а) Может ли ${\displaystyle n}$ быть больше 5?

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день. б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4? в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

а) Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? б) Можно ли представить число 599 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр? в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы семи различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 25 и меньше 85. а) Может ли на доске быть 5 чисел? б) Может ли на доске быть 6 чисел? в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система уравнений

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}^4-y^4=12a-\mathrm{28,}\\ x^2+y^2=a\end{array}}$

имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров. а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной 16 см на куски длиной 1 см? б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной 100 см на куски длиной 1 см? в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной 200 см на куски длиной 1 см?

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$\left|x^2+a^2-6x-4a\right|=2x+2a$

имеет четыре различных корня.

Есть 4 камня, каждый массой 7 тонн, и 9 камней, каждый массой 22 тонны. а) Можно ли разложить все эти камни на две группы так, чтобы разность суммарных масс камней в этих группах составила 8 тонн? б) Можно ли разложить все эти камни на две группы, суммарные массы камней в которых равны? в) Все камни хотят разложить на две группы. Какое наименьшее положительное значение (в тоннах) может принимать разность суммарных масс камней в этих группах?

Найдите все положительные значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}\left|x\right|+\left|y\right|=a,\\ y=\sqrt{x+4}\end{array}$

имеет ровно два различных решения.

Из правильной несократимой дроби $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ $—$ натуральные числа, за один ход получают дробь $\frac{a+b}{2a+b}$.

а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби $\frac{1}{3}$ получить дробь $\frac{22}{31}$?

б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь $\frac{7}{12}$?

в) Несократимая дробь $\frac{c}{d}$ больше 0,7. Найдите наименьшую дробь $\frac{c}{d},$ которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода?

${\displaystyle \frac{4x^2-a^2}{x^2+6x+9-a^2}=0}$

Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня.

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 45 и меньше 120. а) Может ли на доске быть 5 чисел? б) Может ли на доске быть 6 чисел? в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых уравнение

${\displaystyle \sqrt{x+2a}\cdot \ln \left(x-a\right)=\left(x-1\right)\cdot \ln \left(x-a\right)}$

имеет ровно один корень на отрезке ${\displaystyle \left[0;1\right]}$.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых уравнение

${\displaystyle \sqrt{2x-1}\cdot \ln \left(4x-a\right)=\sqrt{2x-1}\cdot \ln \left(5x+a\right)}$

имеет ровно один корень на отрезке ${\displaystyle \left[0;1\right]}$.

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-120.$

Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек. а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек? б) Может ли число красных карточек на столе быть на 90 больше числа синих карточек на столе? в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Ваня написал на доске трёхзначное число $A.$ Петя переписал это число $A,$ вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число $B.$ Коля тоже переписал это число $A,$ вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что и Петя) и получил двузначное число $C.$

а) Может ли быть верным равенство $A=B\cdot C,$ если $A>150$?

б) Может ли быть верным равенство $A=B\cdot C,$ если $540\le A<600$?

в) Найдите наибольшее число $A,$ для которого может быть верным равенство $A=B\cdot C.$

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

${\left(\left|x-a^2\right|+\left|x+1\right|\right)}^2-7\left(\left|x-a^2\right|+\left|x+1\right|\right)+4a^2+4=0$

имеет ровно два различных корня.

Из пары натуральных чисел , где , за один ход получают пару .

а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары  пару, большее число в которой равно 400?

б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары  пару ?

в) Какое наименьшее  может быть в паре , из которой за несколько ходов можно получить пару ?