в) Пусть ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle —}$ шестое по величине число, а ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle —}$ среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения ${\displaystyle S-B}$.

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15. а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3? б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9?

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810. а) Может ли на доске быть ровно 24 чётных числа? б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 7? в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 7, может быть на доске?

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система уравнений

${\displaystyle \{\begin{array}{l}y=\left(a+2\right)x^2+2ax+a-\mathrm{2,}\\ y^2=x^2\end{array}}$

имеет ровно четыре различных решения.

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число.
К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы ${\displaystyle —}$ цифру 8, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раза? б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 18 раз? в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?

На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5120. а) Может ли оказаться, что на доске написано число 230? б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 14? в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, может быть на доске?

Тройку различных натуральных чисел назовём удачной , если любое число в ней хотя бы на 5 больше, чем треть суммы двух других чисел. Например, 40, 45, 50 — удачная тройка. а) Сколько существует удачных троек, содержащих числа 50, 60 и ещё одно число, большее 60? б) Найдётся ли удачная тройка, одно из чисел которой равно 15? в) Какое наибольшее количество чисел от 1 до 100 включительно можно расставить по кругу так, чтобы каждое число встречалось не более одного раза и любые три подряд идущих числа образовывали удачную тройку?

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}\left(x^2-5x-y+3\right)\cdot \sqrt{x-y+3}=\mathrm{0,}\\ y=ax+a\end{array}$

имеет ровно два различных решения.

На доске написано  единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: .

а) Можно ли получить сумму 132, если ?

б) Можно ли получить сумму 132, если ?

в) Для скольких значений  можно получить сумму 132?

Найдите все значения ${\displaystyle a,}$ при каждом из которых уравнение

${\displaystyle a{x}^4-2x^3+\left(a^3-a\right)x^2-\left(2a^2-2\right)x=-a{x}^3+2x^2-\left(a^3-a\right)x+2a^2-2}$ 

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

$\{\begin{array}{l}\left(x^2+y^2+4x\right)\cdot \sqrt{2x+y+6}=\mathrm{0,}\\ y=ax-2a\end{array}$

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$\left|x^2+a^2-6x+4a\right|=2x-2a$

имеет ровно два различных корня.

в) Найдите наибольшее возможное число $k$ такое, что среди записанных чисел больше пяти чисел делятся на $k.$

На доске записано некоторое количество последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять делятся на 20. а) Могло ли среди записанных чисел быть больше пяти чисел, делящихся на 21? б) Могло ли среди записанных чисел быть меньше пяти чисел, делящихся на 15?

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна 20 тонн или 60 тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет 75 % от общего количества контейнеров. а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 80 % от общей массы всех контейнеров? б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить 40 % от общей массы всех контейнеров? в) Какую наибольшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?

В школах ${\displaystyle №}$1 и ${\displaystyle №}$2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали
по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе ${\displaystyle №}$2 средний балл равнялся 42.

Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы ${\displaystyle №}$1 в школу ${\displaystyle №}$2,
а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе ${\displaystyle №}$1 уменьшился на 10%, средний балл в школе ${\displaystyle №}$2 также уменьшился на 10%.

а) Сколько учащихся могло писать тест в школе ${\displaystyle №}$2 изначально?

б) Каждый учащийся школы ${\displaystyle №}$2, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в неё учащийся школы ${\displaystyle №}$1. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы ${\displaystyle №}$2?

в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе ${\displaystyle №}$1 изначально?

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем. а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем? б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну? в) Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100. а) Может ли на доске быть 5 чисел? б) Может ли на доске быть 6 чисел? в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

В ящике лежит 87 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 94 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 127 г. а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г? б) Могло ли в ящике оказаться меньше 9 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г? в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?

На доске написано  единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: .

а) Можно ли получить сумму 113, если ?

б) Можно ли получить сумму 114, если ?

в) Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если ?

В школах ${\displaystyle №}$1 и ${\displaystyle №}$2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали
по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе ${\displaystyle №}$1 средний балл равнялся 18.

Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы ${\displaystyle №}$1 в школу ${\displaystyle №}$2,
а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе ${\displaystyle №}$1 вырос на 10%, средний балл в школе ${\displaystyle №}$2 также вырос на 10%.

а) Сколько учащихся могло писать тест в школе ${\displaystyle №}$1 изначально?

б) В школе ${\displaystyle №}$1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?

в) Известно, что изначально в школе ${\displaystyle №}$2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе ${\displaystyle №}$2 изначально?

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

$\left(x-1\right)a^2-\left(x^3-2x^2+3x-2\right)a-x^4+3x^3-2x^2=0$

имеет ровно два различных корня.