Один мастер может выполнить заказ за 42 часа, а другой — за 21 час. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?

На рёбрах $AC,$ $AD,$ $BD$ и $BC$ тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $K,$ $L,$ $M$ 
и $N$ соответственно, причём $AK:KC=2:3.$ Четырёхугольник $KLMN$ $—$ квадрат со стороной 2.

а) Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $KLM,$ если объём тетраэдра $ABCD$ равен 25.

Решите неравенство $\frac{3^x+9}{3^x-9}+\frac{3^x-9}{3^x+9}\ge \frac{4\cdot 3^{x+1}+144}{9^x-81}.$

${\displaystyle T\left(t\right)=T_0+bt+a{t}^2\text{},}$

где ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle —}$ время (в мин.), ${\displaystyle T_0=1380\text{К}}$, ${\displaystyle a=-15\text{К}/{\text{мин}}^2\text{},}$ ${\displaystyle b=165\text{К}/\text{мин}}$. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1800 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы:

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{\log }_{2}32x}{{\log }_{2}x-5}+\frac{{\log }_{2}x-5}{{\log }_{2}32x}\ge \frac{{\log }_2{x}^{16}+18}{{\log }_2^{2}x-25}}$.

Решите неравенство $3^x+\frac{243}{3^x-36}\ge 0$.

Окружность проходит через вершины ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$ параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$, пересекает сторону ${\displaystyle BC}$ в точках ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle M}$ и пересекает продолжение
стороны ${\displaystyle CD}$ за точку ${\displaystyle D}$ в точке ${\displaystyle N}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle AM=AN}$.

б) Найдите отношение ${\displaystyle CD:DN}$, если ${\displaystyle AB:BC=1:2}$, а ${\displaystyle \cos \angle BAD=\frac{2}{3}}$.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,05. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 285 литров она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба?

На рисунке изображён график функции вида ${\displaystyle f\left(x\right)=a^x\text{}.}$ Найдите значение ${\displaystyle f\left(-2\right).}$ 

Решите неравенство .

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Водолазный колокол, содержащий $\text{υ}=3$ моль воздуха объёмом $V_1=16\text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$ (в л). Работа (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A=\text{αυ}T{\log }_2\frac{V_1}{V_2}$,
где $\text{α}=\mathrm{9,9}$ $\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot \text{К}}$ $—$ постоянная, $T=300\text{К}$ $—$ температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа 26 730 Дж. Ответ дайте в литрах.

В равнобедренной трапеции ${\displaystyle ABCD}$ основание ${\displaystyle AD}$ в два раза больше основания ${\displaystyle BC}$.

а) Докажите, что высота ${\displaystyle CH}$ трапеции разбивает основание ${\displaystyle AD}$ на отрезки, один из которых втрое больше другого.

б) Пусть ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle —}$ точка пересечения диагоналей трапеции ${\displaystyle ABCD}$. Найдите расстояние от вершины ${\displaystyle C}$ до середины отрезка ${\displaystyle OD}$, если ${\displaystyle BC=16}$ и ${\displaystyle AB=10}$.

$—$ каждый январь долг увеличивается на $r$ % по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

$—$ в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на 25 % меньше долга на июль предыдущего года;

$—$ к июлю 2032 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 61 875 тыс. рублей. Найдите $r.$ 

В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на четыре года в размере 40 млн рублей. Условия его возврата таковы:

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{\log }_4\left(16x^4\right)+11}{{\log }_4^{2}x-9}\ge -1}$.

В основании прямой призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ лежит равнобедренный
треугольник $ABC$ с основанием $AB.$ Точка $P$ делит ребро $AB$ 
в отношении $AP:PB=1:\mathrm{3,}$ а точка $Q$ $—$ середина ребра $A_1{C}_1.$ 
Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha ,$ перпендикулярную отрезку $PQ.$

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AC$ пополам.

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1{C}_1,$ считая от точки $A_1,$ если известно, что $AB=A{A}_1,$ $AB:BC=2:5.$

${\displaystyle —}$ каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

${\displaystyle —}$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 419 375 рублей. Условия его возврата таковы: Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

В правильной треугольной пирамиде ${\displaystyle SABC}$ с основанием ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle K}$ — середины рёбер ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle SC}$ соответственно, а точки ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle L}$ отмечены на рёбрах ${\displaystyle SA}$ и ${\displaystyle BC}$ соответственно так, что отрезки ${\displaystyle MK}$ и ${\displaystyle NL}$ пересекаются, а ${\displaystyle AN=3NS.}$ 

а) Докажите, что прямые ${\displaystyle MN,}$ ${\displaystyle KL}$ и ${\displaystyle SB}$ пересекаются в одной точке.

б) Найдите отношение ${\displaystyle BL:LC.}$