Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a=4500\text{км}/\text{}{\text{ч}}^2\text{}.$ Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la},$ где $l$ $—$ пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 90 км/ч.

Решите неравенство $\left({\log }_{\mathrm{0,25}}^2\left(x+3\right)-{\log }_4\left(x^2+6x+9\right)+1\right)\cdot {\log }_4\left(x+2\right)\le 0.$

В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на четыре года в размере $S$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

$—$ каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

$—$ в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на 25 % меньше долга на июль предыдущего года;

$—$ к июлю 2032 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 53 875 тыс. рублей. Найдите $S.$

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_3\left(\frac{1}{x}+2\right)-{\log }_3\left(x+5\right)\ge {\log }_3\left(\frac{x+4}{x^2}\right)}$.

На рисунке изображён график функции вида $f\left(x\right)=a\sqrt{x}.$ Найдите значение $f\left(49\right).$

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 180 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 1 час, а в пункт отправления теплоход возвращается через 20 часов. Ответ дайте в км/ч.

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке . Вершины  и  равнобедренного прямоугольного треугольника  
с прямым углом  лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая  вторично пересекает бо́льшую окружность
в точке , а прямая  вторично пересекает меньшую окружность в точке .

а) Докажите, что прямые  и  параллельны.

б) Найдите , если радиусы окружностей равны  и 15.

На рисунке изображён график функции вида $f\left(x\right)=a^x$. Найдите
значение $f\left(-4\right)$.

Решите неравенство ${\log }_{\mathrm{0,5}}\left(x^3-3x^2-9x+27\right)\le {\log }_{\mathrm{0,25}}{\left(x-3\right)}^4.$

Окружность с центром ${\displaystyle O_1}$ касается оснований ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AD}$ и боковой стороны ${\displaystyle AB}$ трапеции ${\displaystyle ABCD}$. Окружность с центром ${\displaystyle O_2}$ касается сторон ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CD}$ и ${\displaystyle AD}$. Известно, что ${\displaystyle AB=10}$, ${\displaystyle BC=9}$, ${\displaystyle CD=30}$, ${\displaystyle AD=39}$.

а) Докажите, что прямая ${\displaystyle O_1{O}_2}$ параллельна основаниям трапеции ${\displaystyle ABCD}$.

б) Найдите ${\displaystyle O_1{O}_2}$.

$1-\cos 2x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}-2\sin \left(x-\pi \right).$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-5\pi ;-\frac{7\pi }{2}\right].$

а) Решите уравнение

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 185 МГц. Скорость погружения батискафа $v$ (в м/с) вычисляется по формуле ,
где $c=1500\text{м}/\text{}\text{с}$ $—$ скорость звука в воде,  $—$ частота испускаемых импульсов (в МГц),  $—$ частота отражённого от дна сигнала (в МГц), регистрируемая приёмником. Определите частоту отражённого сигнала, если скорость погружения батискафа равна 20 м/с. Ответ дайте в МГц.

Решите неравенство $\frac{1}{3^x+21}+\frac{1}{3^x-27}\ge 0$.

Сечением прямоугольного параллелепипеда ${\displaystyle ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$ плоскостью ${\displaystyle \text{α}}$, содержащей прямую ${\displaystyle B{D}_1}$ и параллельной прямой ${\displaystyle AC}$, является ромб.

а) Докажите, что грань ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle —}$ квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями ${\displaystyle \text{α}}$ и ${\displaystyle BC{C}_1}$, если ${\displaystyle A{A}_1=6}$, ${\displaystyle AB=4}$.

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{\log }_5\left(25x\right)}{{\log }_{5}x-2}+\frac{{\log }_{5}x-2}{{\log }_5\left(25x\right)}\ge \frac{6-{\log }_5{x}^4}{{\log }_5^{2}x-4}}$.

Точка ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle —}$ середина боковой стороны ${\displaystyle CD}$ трапеции ${\displaystyle ABCD}$. На стороне ${\displaystyle AB}$ взяли точку ${\displaystyle K}$ так, что прямые ${\displaystyle CK}$ и ${\displaystyle AE}$ параллельны. Отрезки ${\displaystyle CK}$ и ${\displaystyle BE}$ пересекаются в точке ${\displaystyle O}$.

а) Докажите, что ${\displaystyle CO=KO}$.

б) Найдите отношение оснований трапеции ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AD}$, если площадь треугольника ${\displaystyle BCK}$ составляет ${\displaystyle \frac{9}{100}}$ площади трапеции ${\displaystyle ABCD}$.

На рисунке изображён график функции вида $f\left(x\right)={\log }_{a}x$. Найдите
значение $f\left(16\right)$.

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 60 % меди, второй $—$ 10 % меди. Масса второго сплава больше массы первого на 90 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 20 % меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

На рисунке изображены графики функций ${\displaystyle f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=kx,}$ пересекающиеся в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B.}$ Найдите абсциссу точки ${\displaystyle B.}$ 

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени и не попадёт в две последние.