Найдите точку максимума функции $y=3+18x-x^{\frac{3}{2}}.$

$—$ каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

$—$ в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

$—$ в июле 2030 года долг должен составить 600 тыс. рублей;

$—$ в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

$—$ к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет. Условия его возврата таковы: Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2360 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.

В параллелограмме $ABCD$ угол $BAC$ вдвое больше угла $CAD.$ 
Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L.$ На продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбрана такая точка $E,$ что $AE=CE.$

а) Докажите, что $AL\cdot BC=AB\cdot AC.$

б) Найдите $EL,$ если $AC=\mathrm{8,}$ $\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{1}{2}.$

${\displaystyle {16}^{\cos x}\text{}+{16}^{\cos \left(\text{π}-x\right)}=\frac{17}{4}}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[\text{π};\frac{5\text{π}}{2}\right]}$.

а) Решите уравнение

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,94. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,04. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит .

Заказ на изготовление 323 деталей первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на 2 детали больше второго?

На рисунке изображён график функции вида $f\left(x\right)=\frac{k}{x}$. Найдите
значение $f\left(10\right)$.

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ $—$ середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K.$ 

а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD.$

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha ,$ если известно, что $BK=\mathrm{1,}$ $KC=3.$

В равнобедренном остроугольном треугольнике $ABC$ проведены
высоты $AH$ и $CT$ к боковым сторонам $BC$ и $AB.$ Отрезки $HM$ и $HK$ $—$ перпендикуляры к прямым $AB$ и $AC$ соответственно. Отрезки $CT$ и $MK$ пересекаются в точке $E.$

а) Докажите, что прямые $AB$ и $EH$ параллельны.

б) Найдите длину отрезка $ME,$ если $AB=17$ и $AC=16.$ 

В остроугольном треугольнике ${\displaystyle ABC}$ угол ${\displaystyle BAC}$ в два раза больше угла ${\displaystyle ABC\text{.}}$ Точка ${\displaystyle O}$ — центр окружности, описанной около треугольника ${\displaystyle ABC\text{.}}$ Окружность, описанная около треугольника ${\displaystyle AOC\text{},}$ пересекает отрезок ${\displaystyle BC}$ в точках ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle P\text{.}}$ 

а) Докажите, что ${\displaystyle AP=BP\text{.}}$ 

б) Найдите длину стороны ${\displaystyle BC\text{},}$ если ${\displaystyle AB=7\text{},}$ ${\displaystyle AC=4.}$ 

В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 1050 тыс. рублей; — выплаты в 2030 и 2031 годах равны; — к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью. На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?

На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A$. Найдите абсциссу точки $A$.

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_3^2\left(x^2-16\right)-5{\log }_3\left(x^2-16\right)+6\ge 0}$.

Найдите точку минимума функции ${\displaystyle y=5x-\ln {\left(x+3\right)}^5+6}$.

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 567 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 54 часа. Ответ дайте в км/ч.

В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $BAC$ в два раза больше угла $ABC.$ Точка $O$ $—$ центр окружности, описанной около треугольника $ABC.$ Окружность, описанная около треугольника $AOC,$ пересекает отрезок $BC$ в точках $C$ и $P.$

а) Докажите, что треугольники $PAC$ и $ABC$ подобны.

б) Найдите длину стороны $AB,$ если $AC=\mathrm{2,}$ $BC=\sqrt{10}.$

В правильной четырёхугольной пирамиде ${\displaystyle SABCD}$ сторона основания ${\displaystyle AB}$ равна 6, а боковое ребро ${\displaystyle SA}$ равно 7. На рёбрах ${\displaystyle CD}$ и ${\displaystyle SC}$ отмечены
точки ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle K}$ соответственно, причём ${\displaystyle DN:NC=SK:KC=1:2}$. Плоскость ${\displaystyle \text{α}}$ содержит прямую ${\displaystyle KN}$ и параллельна прямой ${\displaystyle BC}$.

а) Докажите, что плоскость ${\displaystyle \text{α}}$ параллельна прямой ${\displaystyle SA}$.

б) Найдите угол между плоскостями ${\displaystyle \text{α}}$ и ${\displaystyle SBC}$.

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,5. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит .