В параллелограмме ${\displaystyle ABCD}$ проведена диагональ ${\displaystyle AC}$. Точка ${\displaystyle O}$ является центром окружности, вписанной в треугольник ${\displaystyle ABC}$. Расстояния от точки ${\displaystyle O}$ до точки ${\displaystyle A}$ и прямых ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle AC}$ соответственно равны 25, 15 и 7. Найдите площадь параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$.

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ биссектриса ${\displaystyle BE}$ и медиана ${\displaystyle AD}$ перпендикулярны
и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника ${\displaystyle ABC}$.

Середина ${\displaystyle M}$ стороны ${\displaystyle AD}$ выпуклого четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$ равноудалена от всех его вершин. Найдите ${\displaystyle AD}$, если ${\displaystyle BC=3}$, а углы ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ четырёхугольника равны соответственно ${\displaystyle 94°}$ и ${\displaystyle 131°}$.

Боковые стороны ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ трапеции ${\displaystyle ABCD}$ равны соответственно 28 и 35,
а основание ${\displaystyle BC}$ равно 7. Биссектриса угла ${\displaystyle ADC}$ проходит через середину стороны ${\displaystyle AB}$. Найдите площадь трапеции.

${\displaystyle y=\frac{\mathrm{3,5}\left|x\right|-1}{\left|x\right|-\mathrm{3,5}{x}^2}}$.

Определите, при каких значениях ${\displaystyle k}$ прямая ${\displaystyle y=kx}$ не имеет с графиком общих точек.

Постройте график функции

В трапеции ${\displaystyle ABCD}$ боковая сторона ${\displaystyle AB}$ перпендикулярна основанию ${\displaystyle BC}$. Окружность проходит через точки ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ и касается прямой ${\displaystyle AB}$ в точке ${\displaystyle E}$. Найдите расстояние от точки ${\displaystyle E}$ до прямой ${\displaystyle CD}$, если ${\displaystyle AD=4}$, ${\displaystyle BC=2}$.

В трапеции ${\displaystyle ABCD}$ основания ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$ равны соответственно 32 и 24,
а сумма углов при основании ${\displaystyle AD}$ равна ${\displaystyle 90°}$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ и касающейся прямой ${\displaystyle CD}$, если ${\displaystyle AB=7}$.

${\displaystyle y=\{\begin{array}{l}{x}^2+4x+4\text{при}x\ge -\mathrm{3,}\\ -\frac{3}{x}\text{при}x<-3.\end{array}}$

и определите, при каких значениях ${\displaystyle m}$ прямая ${\displaystyle y=m}$ имеет с графиком одну или две общие точки.

Постройте график функции

Середина ${\displaystyle M}$ стороны ${\displaystyle AD}$ выпуклого четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$ равноудалена от всех его вершин. Найдите ${\displaystyle AD}$, если ${\displaystyle BC=6}$, а углы ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ четырёхугольника равны соответственно ${\displaystyle 124°}$ и ${\displaystyle 116°}$.

Четырёхугольник ${\displaystyle ABCD}$ со сторонами ${\displaystyle AB=39}$ и ${\displaystyle CD=6}$ вписан
в окружность. Диагонали ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BD}$ пересекаются в точке ${\displaystyle K}$,
причём ${\displaystyle \angle AKB=60°}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

В трапеции ${\displaystyle ABCD}$ боковая сторона ${\displaystyle AB}$ перпендикулярна основанию ${\displaystyle BC}$. Окружность проходит через точки ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ и касается прямой ${\displaystyle AB}$ в точке ${\displaystyle E}$. Найдите расстояние от точки ${\displaystyle E}$ до прямой ${\displaystyle CD}$, если ${\displaystyle AD=12}$, ${\displaystyle BC=9}$.

${\displaystyle y=\{\begin{array}{l}{x}^2-2x+1\text{при}x\ge -\mathrm{2,}\\ -\frac{18}{x}\text{при}x<-2.\end{array}}$

и определите, при каких значениях ${\displaystyle m}$ прямая ${\displaystyle y=m}$ имеет с графиком одну или две общие точки.

Постройте график функции

На стороне ${\displaystyle BC}$ остроугольного треугольника ${\displaystyle ABC}$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту ${\displaystyle AD}$ в точке ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle AD=45}$, ${\displaystyle MD=15}$,
${\displaystyle H}$ ${\displaystyle —}$ точка пересечения высот треугольника ${\displaystyle ABC}$. Найдите ${\displaystyle AH}$.

Углы при одном из оснований трапеции равны ${\displaystyle 39°}$ и ${\displaystyle 51°}$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 3. Найдите основания трапеции.

В параллелограмме ${\displaystyle ABCD}$ проведена диагональ ${\displaystyle AC}$. Точка ${\displaystyle O}$ является центром окружности, вписанной в треугольник ${\displaystyle ABC}$. Расстояния от точки ${\displaystyle O}$ до точки ${\displaystyle A}$ и прямых ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle AC}$ соответственно равны 13, 7 и 5. Найдите площадь параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$.

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 220, а площадь равна 2420, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Середина ${\displaystyle M}$ стороны ${\displaystyle AD}$ выпуклого четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$ равноудалена от всех его вершин. Найдите ${\displaystyle AD}$, если ${\displaystyle BC=10}$, а углы ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ четырёхугольника равны соответственно ${\displaystyle 112°}$ и ${\displaystyle 113°}$.

${\displaystyle y=2\left|x-4\right|-x^2+9x-20}$.

Определите, при каких значениях ${\displaystyle m}$ прямая ${\displaystyle y=m}$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Постройте график функции

В параллелограмме ${\displaystyle ABCD}$ проведена диагональ ${\displaystyle AC}$. Точка ${\displaystyle O}$ является центром окружности, вписанной в треугольник ${\displaystyle ABC}$. Расстояния от точки ${\displaystyle O}$ до точки ${\displaystyle A}$ и прямых ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle AC}$ соответственно равны 13, 9 и 5. Найдите площадь параллелограмма ${\displaystyle ABCD}$.