В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ $—$ середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $BC$ и $MK$ параллельны.

б) Найдите объём пирамиды $MABF,$ если $AB=\mathrm{8,}$ а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды $SABCDEF$ равен $45°.$

Решите неравенство $\frac{4}{3^x-27}\ge \frac{1}{3^x-9}$.

Найдите значение выражения ${\displaystyle 3\cos 2\text{α}}$, если ${\displaystyle \cos \text{α}=-\mathrm{0,8}}$.

${\displaystyle 2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)-\cos x=\sqrt{3}\sin 2x-1}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[\frac{\text{5π}}{2};4\pi \right]}$.

а) Решите уравнение

$—$ каждый январь долг возрастает на $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

$—$ в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 6,6 млн рублей;

$—$ суммы выплат в 2030 и 2031 годах равны.

Найдите $r,$ если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 12,6 млн рублей.

В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы:

Заказ на изготовление 192 деталей первый рабочий выполняет на 4 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 4 детали больше?

Высоты ${\displaystyle B{B}_1}$ и ${\displaystyle C{C}_1}$ остроугольного треугольника ${\displaystyle ABC}$ пересекаются в точке ${\displaystyle H.}$ 

а) Докажите, что ${\displaystyle \angle B{B}_1{C}_1=\angle BAH.}$ 

б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ${\displaystyle ABC,}$ до стороны ${\displaystyle BC,}$ если ${\displaystyle B_1{C}_1=18}$ и ${\displaystyle \angle BAC=30°\text{}.}$ 

Дана правильная четырёхугольная призма $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1.$ Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B_1$ и $D$ и пересекает рёбра $A{A}_1$ и $C{C}_1$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Известно, что четырёхугольник $M{B}_{1}KD$ $—$ ромб.

а) Докажите, что точка $M$ $—$ середина ребра $A{A}_1.$

б) Найдите высоту призмы $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1,$ если площадь её основания $ABCD$ равна 3, а площадь ромба $M{B}_{1}KD$ равна 6.

Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 288 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 1 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 4 часа. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

В коробке 11 синих, 6 красных и 8 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

Найдите значение выражения ${\displaystyle 5^{\mathrm{0,06}}\cdot {25}^{\mathrm{0,97}}}$.

$2{\sin }^{2}x+\sqrt{2}\sin \left(2\pi -x\right)+\sqrt{3}\sin 2x=\sqrt{6}\cos x.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right].$

а) Решите уравнение

$–$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

$–$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

$–$ 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

$–$ к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму A млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: Чему равно A , если общая сумма платежей в 2028 году составит 17 925 тыс. рублей?

Найдите наименьшее значение функции $y=x\sqrt{x}-9x+25$ на отрезке $\left[1;50\right].$

$—$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;

$—$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом выплатить часть долга;

$—$ 15-го числа каждого месяца долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение $r,$ при котором сумма всех платежей будет превышать кредит больше чем на 30 %.

15 января планируется взять кредит в банке на 4 месяца. Условия его возврата таковы:

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся
в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ 
(в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f=f_0\cdot \frac{c+u}{c-v}$, где $f_0=160\text{Гц}$ $—$ частота исходного сигнала, $c$ $—$ скорость распространения сигнала в среде
(в м/с), а $u=8\text{м}/\text{}\text{с}$ и $v=11\text{м}/\text{}\text{с}$ $—$ скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна 170 Гц? Ответ дайте в м/с.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $M$ $—$ середина ребра $AB.$ Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha ,$ параллельная плоскости $SBC$ и пересекающая ребро $SD$ в точке $K.$

а) Докажите, что $K$ $—$ середина ребра $SD.$

б) Найдите объём пирамиды $SABCD,$ если $AB=\mathrm{24,}$ а угол между прямой $MK$ и плоскостью основания пирамиды равен $30°.$

В пирамиде ${\displaystyle ABCD}$ рёбра ${\displaystyle DA}$, ${\displaystyle DB}$ и ${\displaystyle DC}$ попарно перпендикулярны, а ${\displaystyle AB=BC=AC=6\sqrt{2}}$.

б) На рёбрах ${\displaystyle DA}$ и ${\displaystyle DC}$ отмечены точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ соответственно, причём ${\displaystyle DM:MA=DN:NC=1:2}$. Найдите расстояние от точки ${\displaystyle D}$ до плоскости ${\displaystyle MNB}$.

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

Найдите точку максимума функции $y=x^3-27x+14.$

На рисунке изображён график функции вида $f\left(x\right)=a\sqrt{x}.$ Найдите значение $f\left(25\right).$